Calcule a inversa das funções abaixo (para isso, calcule Im(f) ):
rlrl f:(-1,0) & longrightarrow R & g:(-1, infty) & longrightarrow R x & longmapsto raiz1-x^2 & x & longmapsto 1x+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular as bijeções inversas de duas funções reais, o que envolve dois pontos principais: (i) determinar a imagem de cada função para saber seu domínio na inversa e (ii) resolver a equação y=f(x) para obter x em função de y.

Passo 2

Analisando
f:(-1,0)longrightarrowR, f(x)=raiz1-x^2,
vemos que, para xin(-1,0), tem-se x^2in(0,1) e portanto
1-x^2in(0,1)Longrightarrow raiz1-x^2in(0,1)
Logo Im(f)=(0,1). Para inverter, seja y=raiz1-x^2. Então
y^2=1-x^2Longrightarrow x^2=1-y^2
e
x=pmraiz1-y^2
Como x<0 no domínio original, escolhemos o sinal negativo:
x=-raiz1-y^2

Passo 3

Portanto
f^-1:(0,1)longrightarrow(-1,0), f^-1(y)=-raiz1-y^2

Passo 4

Agora
g:(-1,infty)longrightarrowR, g(x)=1x+1
Para x>-1 tem-se x+1>0, logo
1x+1in(0,infty),
isto é, Im(g)=(0,infty). Para inverter, escreva y=1x+1. Então
x+1=1y Longrightarrow x=1y-1

Passo 5

Logo
g^-1:(0,infty)longrightarrow(-1,infty), g^-1(y)=1y-1

Resposta

Im(f)=(0,1) e
f^-1:(0,1)to(-1,0), f^-1(y)=-raiz1-y^2
Im(g)=(0,infty) e
g^-1:(0,infty)to(-1,infty), g^-1(y)=1y-1

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