Usar o teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada:
ointC(e^z^2 d x+(x+z) d y+(2 x-z) d z), onde C é o contomo da parte do plano x+2 y+z=4 que está no 1^2 octante, no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
ointCl(e^z^2,dx+(x+z),dy+(2x-z),dzr)
onde C é o contorno da superfície S dada pelo plano x+2y+z=4 no primeiro octante, percorrido no sentido anti-horário. Vamos aplicar o Teorema de Stokes, que diz
ointC Fcdot d r ;=;integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dS
Aqui F=(P,Q,R)=(e^z^2,,x+z,,2x-z). Nosso objetivo será (1) calcular nablatimes F, (2) parametrizar S e achar n,dS, (3) montar e (4) avaliar a integral de superfície.

Passo 2

Calcular o rotacional nablatimes F.
P=e^z^2, Q=x+z, R=2x-z
Logo
nablatimes F =l(Ry-Qz,;Pz-Rx,;Qx-Pyr) =(0-1,;2z,e^z^2-2,;1-0) =(-1,;2z,e^z^2-2,;1)

Passo 3

Parametrizamos S por (x,y), escrevendo
z=4-x-2y, r(x,y)=(x,y,4-x-2y),
com domínio D=(x,y)mid x>=0,;y>=0,;x+2y<=4. Calculamos
rx=(1,0,-1), ry=(0,1,-2),
e o vetor normal orientado coerentemente com o sentido dado de C é
rxtimes ry=(1,2,1)
Portanto
n,dS =( rxtimes ry),dx,dy =(1,2,1),dx,dy

Passo 4

O Teorema de Stokes dá
ointC Fcdot d r =integral duplaDl(nablatimes Fr)cdot(1,2,1),dx,dy
Fazendo o produto escalar:
(-1,;2z,e^z^2-2,;1)cdot(1,2,1) =-1+2,(2z,e^z^2-2)+1 =4z,e^z^2-4
Como z=4-x-2y, o integrando fica
4(4-x-2y),e^(4-x-2y)^2-4
Assim
ointC Fcdot d r =integral duplaDl[4(4-x-2y)e^(4-x-2y)^2-4r],dy,dx,
com 0<= x<=4 e 0<= y<=4-x2.

Passo 5

Primeiro integramos em y. Faça a substituição
u=4-x-2y, du=-2,dy,
quando y=0Rightarrow u=4-x, e y=(4-x)/2Rightarrow u=0. Então
integral0^4-x24u,e^u^2dy =2integral4-x^0u,e^u^2(-du) =2integral0^4-xu,e^u^2du =e^(4-x)^2-1,
e
integral0^4-x2(-4),dy =-4cdot4-x2 =-2(4-x)=-8+2x
Somando,
integral0^4-x2l[4u,e^u^2-4r]dy =e^(4-x)^2-1-8+2x =e^(4-x)^2+2x-9

Passo 6

Agora integramos em x de 0 a 4:
ointC Fcdot d r =integral0^4l[e^(4-x)^2+2x-9r]dx =integral0^4e^(4-x)^2dx +integral0^4(2x-9)dx
Fazendo t=4-x na primeira integral obtém-se integral0^4e^t^2dt. A segunda é elementar:
integral0^4(2x-9)dx =l[x^2-9xr]0^4 =16-36 =-20
Logo
ointC Fcdot d r =integral0^4e^t^2dt;-;20
Como integral0^4e^t^2dt não tem forma elementar, podemos expressá-la via função erro imagi­nária:
integral0^4e^t^2dt =raizpi2,erfi(4)

Resposta

ointCl(e^z^2,dx+(x+z),dy+(2x-z),dzr) =integral0^4e^t^2dt;-;20 =raizpi2,erfi(4);-;20

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