Usar o teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada:
, onde
é o contomo da parte do plano
que está no
octante, no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde
é o contorno da superfície
dada pelo plano
no primeiro octante, percorrido no sentido anti-horário. Vamos aplicar o Teorema de Stokes, que diz
Aqui
. Nosso objetivo será (1) calcular
, (2) parametrizar
e achar
, (3) montar e (4) avaliar a integral de superfície.
Passo 2
Calcular o rotacional
.
Logo
Passo 3
Parametrizamos
por
, escrevendo
com domínio
. Calculamos
e o vetor normal orientado coerentemente com o sentido dado de
é
Portanto
Passo 4
O Teorema de Stokes dá
Fazendo o produto escalar:
Como
, o integrando fica
Assim
com
e
.
Passo 5
Primeiro integramos em
. Faça a substituição
quando
, e
. Então
e
Somando,
Passo 6
Agora integramos em
de
a
:
Fazendo
na primeira integral obtém-se
. A segunda é elementar:
Logo
Como
não tem forma elementar, podemos expressá-la via função erro imaginária: