Calcule a inversa de A=[lll2 & 2 & 3 2 & 1 & 2 3 & 2 & 4] utilizando operações elementares (1,5 ponto).

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = 2 & 2 & 3 2 & 1 & 2 3 & 2 & 4
usando operações elementares (método de Gauss–Jordan). Vamos montar a matriz aumentada [Amid I] e transformá-la em [Imid A^-1].

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e escalonamos a primeira coluna. Primeiro dividimos a primeira linha por 2 para obter o pivô 1, depois eliminamos abaixo:
[Amid I] = 2 & 2 & 3 &mid& 1 & 0 & 0 2 & 1 & 2 &mid& 0 & 1 & 0 3 & 2 & 4 &mid& 0 & 0 & 1
R1tfrac12R1 Longrightarrow 1 & 1 & tfrac32 &mid& tfrac12 & 0 & 0 2 & 1 & 2 &mid& 0 & 1 & 0 3 & 2 & 4 &mid& 0 & 0 & 1
R2 R2-2R1, R3 R3-3R1 Longrightarrow 1 & 1 & tfrac32 &mid& tfrac12 & 0 & 0 0 & -1 & -1 &mid& -1 & 1 & 0 0 & -1 & -tfrac12&mid& -tfrac32& 0 & 1

Passo 3

Agora pivotamos a segunda coluna: multiplicamos a segunda linha por -1 para ter pivô 1, e eliminamos acima e abaixo:
R2 -R2 Longrightarrow 1 & 1 & tfrac32 &mid& tfrac12 & 0 & 0 0 & 1 & 1 &mid& 1 & -1 & 0 0 & -1 & -tfrac12&mid& -tfrac32& 0 & 1
R1 R1-R2, R3 R3+R2 Longrightarrow 1 & 0 & tfrac12 &mid& -tfrac12& 1 & 0 0 & 1 & 1 &mid& 1 & -1 & 0 0 & 0 & tfrac12 &mid& -tfrac12& -1 & 1

Passo 4

Por fim, pivotamos a terceira coluna multiplicando a terceira linha por 2 e eliminamos acima:
R3 2R3 Longrightarrow 1 & 0 & tfrac12 &mid& -tfrac12& 1 & 0 0 & 1 & 1 &mid& 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 &mid& -1 & -2 & 2
R1 R1-tfrac12R3, R2 R2-R3 Longrightarrow 1 & 0 & 0 &mid& 0 & 2 & -1 0 & 1 & 0 &mid& 2 & 1 & -2 0 & 0 & 1 &mid& -1& -2& 2
Agora temos [Imid A^-1] e, portanto, a parte direita é a inversa de A.

Resposta

A^-1 = 0 & 2 & -1 2 & 1 & -2 -1& -2& 2

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