Verifique se os conjuntos S e U são Subespaços Vetoriais de R^2, considerando soma de vetores e multiplicação por escalar usuais e justifique suas respostas (1,0 ponto cada item).
U=(x, y) in R^2 mid 2 x+y=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os conjuntos S e U são subespaços vetoriais de R^2. Porém, o conjunto S não foi especificado, de modo que não há como analisar S. Vamos então tratar apenas de
U = (x,y)inR^2 mid 2x + y = 0,
usando os três critérios de subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor nulo (0,0) pertence a U. Como
2cdot 0 + 0 = 0,
segue que (0,0)in U. Logo, U não é vazio e contém o vetor zero.

Passo 3

Mostramos que U é fechado sob adição. Sejam (x1,y1) e (x2,y2) em U. Então
2x1 + y1 = 0 e 2x2 + y2 = 0
Somando as duas igualdades,
2(x1 + x2) + (y1 + y2) = 0 + 0 = 0,
portanto (x1+x2,,y1+y2)in U.

Passo 4

Mostramos que U é fechado sob multiplicação por escalar. Seja lambdainR e (x,y)in U, ou seja, 2x+y=0. Então
2(lambda x) + (lambda y) = lambda,(2x + y) = lambdacdot 0 = 0,
logo (lambda x,lambda y)in U.

Passo 5

Como U contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que U é um subespaço vetorial de R^2. O conjunto S não pôde ser analisado pois não foi definido no enunciado.

Resposta

U é subespaço vetorial de R^2.
Não é possível verificar S pois não foi informado no enunciado.

Exercícios relacionados