Seja o sistema de equações lineares abaixo:
l 2 x1+x2+3 x3-x4=2 3 x1+2 x2+4 x3-2 x4=2 3 x1-3 x2+9 x3+x4=6
(a) Resolva o sistema utilizando o método de Gauss Jordan (1,5 pontos);
(b) Obtenha uma solução Particular para o sistema ( 0,5 ponto);
(c) Determine a solução do sistema homogêneo associado ( 0,5 ponto).

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear com 3 equações e 4 incógnitas x1,x2,x3,x4. O conteúdo é eliminação de Gauss–Jordan: vamos escrever a matriz aumentada e usar operações elementares para chegar à forma reduzida por linha, de onde lemos a solução.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada [A|b]:
[A|b]= 2 & 1 & 3 & -1 & | & 2 3 & 2 & 4 & -2 & | & 2 3 & -3 & 9 & 1 & | & 6

Passo 3

Primeiro pivô: normalizamos a linha 1 dividindo por 2 ( R1>=ts R1/2):
1 & tfrac12 & tfrac32 & -tfrac12 & | & 1 3 & 2 & 4 & -2 & | & 2 3 & -3 & 9 & 1 & | & 6

Passo 4

Zeramos a coluna 1 em R2 e R3 usando
R2>=ts R2-3R1 e R3>=ts R3-3R1:
1 & tfrac12 & tfrac32 & -tfrac12 & | & 1 0 & tfrac12 & -tfrac12 & -tfrac12 & | & -1 0 & -tfrac94 & tfrac92 & tfrac52 & | & 3

Passo 5

Agora fazemos R2>=ts 2R2 para ter pivô 1 na coluna 2 e em seguida eliminamos o coeficiente de x2 em R1 e R3:
Após R2>=ts 2R2:
1 & tfrac12 & tfrac32 & -tfrac12 & | & 1 0 & 1 & -1 & -1 & | & -2 0 & -tfrac94 & tfrac92 & tfrac52 & | & 3
Fazemos agora
R1>=ts R1-tfrac12R2 e R3>=ts R3+tfrac94R2. O resultado é
1 & 0 & 2 & 0 & | & 2 0 & 1 & -1 & 0 & | & 1 0 & 0 & 0 & -2 & | & -6

Passo 6

Finalmente, normalizamos R3 dividindo por -2 e zeramos acima em coluna 4:
Depois de R3>=ts R3/(-2):
1 & 0 & 2 & 0 & | & 2 0 & 1 & -1 & 0 & | & 1 0 & 0 & 0 & 1 & | & 3
E aplicamos R2>=ts R2+0cdot R3 e R1 já tem zero em x4.

Passo 7

A forma reduzida indica o sistema:
x1+2x3=2, x2 - x3=1, x4=3
Escolhemos x3=t (variável livre). Assim:
x1=2-2t, x2=1+t, x3=t, x4=3
Isso encerra o método de Gauss–Jordan (parte a).

Passo 8

Para obter uma solução particular (parte b), basta fixar t=0. Assim:
(x1,x2,x3,x4)=(2,1,0,3)

Passo 9

A solução do sistema homogêneo associado (parte c) vem de anular o termo independente, o que corresponde a só considerar o vetor que multiplica t. Então:
(x1,x2,x3,x4)=t,(-2,1,1,0), tinR

Resposta

(a) A solução geral é
(x1,x2,x3,x4)=(2,1,0,3)+t,(-2,1,1,0), tinR
(b) Uma solução particular é (2,1,0,3).
(c) A solução do homogêneo é t(-2,1,1,0)mid tinR

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