Questão 1. (1,75 ponto) Uma reta r contém os pontos A(-1,2,4) e B(0,1,-2). Encontre uma equação reduzida desta reta e depois verifique se o ponto P(3,0,-2) pertence a reta.

Passo 1

O enunciado dá dois pontos em R^3: A(-1,2,4) e B(0,1,-2), e pede que a gente encontre a equação reduzida da reta r que passa por eles e, em seguida, verifique se o ponto P(3,0,-2) pertence a essa reta. Vamos usar geometria vetorial: primeiro achamos o vetor diretor e montamos a forma paramétrica e simétrica da reta.

Passo 2

O vetor diretor vec v de r é dado por
vec v = AB = (0 - (-1),;1-2,;-2-4) = (1,-1,-6)

Passo 3

A forma paramétrica da reta com parâmetro t e ponto A fica
x = -1 + t, y = 2 - t, z = 4 - 6t
Dessa parametrização tiramos a equação reduzida (simétrica):
x + 11 ;=;y - 2-1;=;z - 4-6

Passo 4

Para ver se P(3,0,-2) está em r, tentamos achar t que resolva todas as equações.
Pela coordenada x:
-1 + t = 3 Longrightarrow t = 4
Mas então
y = 2 - t = 2 - 4 = -2 neq 0,
logo não há t que faça simultaneamente x=3,;y=0 e z=-2. Assim P não pertence a r.

Resposta

A equação reduzida da reta é
x + 11 ;=;y - 2-1;=;z - 4-6
O ponto ,P(3,0,-2) não pertence à reta, pois não existe parâmetro t que satisfaça todas as coordenadas.

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