(2,5 pontos) Considere a transformação linear
dada por
.
(a) Mostre que
é bijetiva;
(b) Determine
onde
é a inversa de
.
(a) Mostre que
(b) Determine
Passo 1
Beleza, resumindo o que a gente tem: é uma transformação linear
T: ℝ² → ℝ² dada por
T: ℝ² → ℝ² dada por
O conteúdo é de transformação linear, bijetividade e inversa.
Pra isso vamos precisar dos conceitos de injetividade/sobrejetividade (ou seja, achar soluções de sistemas lineares) e depois montar a inversa a partir desse sistema.
Pra isso vamos precisar dos conceitos de injetividade/sobrejetividade (ou seja, achar soluções de sistemas lineares) e depois montar a inversa a partir desse sistema.
Passo 2
Mostrando que T é bijetiva via sistema.
Para todo par [(a,b)) queremos ver se existe e é único
tal que
A gente resolve por eliminação:
(2) menos (1) dá
(2) menos (1) dá
Substituindo em (x + y = b]:
Então pra cada
achamos exatamente um
. Isso prova injetividade (não dá pra ter dois
diferentes) e sobrejetividade (a gente chega em todo
). Logo T é bijetiva.
Passo 3
Determinando a inversa
.
Por definição, é o par
que resolve aquele sistema.
Acabamos de encontrar
Por definição,
Acabamos de encontrar
Portanto
Resposta
(a)
é bijetiva porque para cada
existe um único
que manda em
.
(b)
(b)