(2,5 pontos) Considere a transformação linear T: R^2 R^2 dada por T(x, y)=(x-2 y, x+y).
(a) Mostre que T é bijetiva;
(b) Determine T^-1(a, b) onde T^-1: R^2 R^2 é a inversa de T.

Passo 1

Beleza, resumindo o que a gente tem: é uma transformação linear
T: ℝ² → ℝ² dada por
T(x,y) = (x - 2y,; x + y)
O conteúdo é de transformação linear, bijetividade e inversa.
Pra isso vamos precisar dos conceitos de injetividade/sobrejetividade (ou seja, achar soluções de sistemas lineares) e depois montar a inversa a partir desse sistema.

Passo 2

Mostrando que T é bijetiva via sistema.
Para todo par [(a,b)) queremos ver se existe e é único tal que
A gente resolve por eliminação:
(2) menos (1) dá
Substituindo em (x + y = b]:
Então pra cada achamos exatamente um . Isso prova injetividade (não dá pra ter dois diferentes) e sobrejetividade (a gente chega em todo ). Logo T é bijetiva.

Passo 3

Determinando a inversa T^-1.
Por definição, T^-1(a,b) é o par (x,y) que resolve aquele sistema.
Acabamos de encontrar
x = a + 2b3, y = b - a3
Portanto
T^-1(a,b) = l(tfraca + 2b3,;tfracb - a3r)

Resposta

(a) T é bijetiva porque para cada (a,b) existe um único (x,y) que manda em (a,b).
(b)
T^-1(a,b) ;=;l(,tfraca + 2b3,;tfracb - a3r)

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