Calcule a inversa da matriz abaixo ou mostre que a matriz não tem inversa pelo método apresentado em aula.
(llll 1 & 2 & 3 & 4 0 & 2 & 3 & 4 0 & 0 & 3 & 4 0 & 0 & 0 & 4 )

Passo 1

O enunciado pede a inversa de uma matriz triangular superior 4times4. Vamos usar o método de Gauss–Jordan: montar a matriz aumentada (Amid I) e aplicar operações de linha até que o bloco esquerdo vire a identidade. Aí o bloco direito será A^-1.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada (Amid I):
(Amid I) = (cccc|cccc 1 & 2 & 3 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 3 & 4 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 3 & 4 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 1 )

Passo 3

Pivô na posição (2,2): dividimos a segunda linha por 2 para ter 1 na diagonal e em seguida zeramos a entrada acima em (1,2).
Aplicamos
L2 >=ts 12,L2, L1 >=ts L1 - 2,L2
Isso faz a coluna 2 ter zeros em todas as posições, exceto o pivô igual a 1.

Passo 4

Pivô na posição (3,3): dividimos a terceira linha por 3 e usamos-na para zerar a entrada em (2,3) (já não há nada em (1,3).
Aplicamos
L3 >=ts 13,L3, L2 >=ts L2 - 32,L3

Passo 5

Pivô na posição (4,4): dividimos a quarta linha por 4 e zeramos a única entrada não nula acima, em (3,4).
Aplicamos
L4 >=ts 14,L4, L3 >=ts L3 - 43,L4
Agora o bloco esquerdo é a identidade I4.

Passo 6

Como chegamos a (I4mid X), concluímos que A é invertível e que o bloco direito X é A^-1.

Resposta

A^-1 = 1 & -1 & 0 & 0 0 & tfrac12 & -tfrac12 & 0 0 & 0 & tfrac13 & -tfrac13 0 & 0 & 0 & tfrac14

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