Seja T: R^3 R^3 um operador linear tal que
T(x, y, z)=(x-2 y-2 z, y, 2 y+3 z)
Determine uma base de autovetores de T, caso possível. ( 2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear Tcolon R^3toR^3 definido por
T(x,y,z) = (,x - 2y - 2z,;y,;2y + 3z,)
Queremos encontrar uma base de autovetores de T. Para isso, vamos representar T pela matriz associada na base canônica, calcular o polinômio característico para obter os autovalores e em seguida determinar os autovetores de cada autovalor.

Passo 2

Na base canônica , a matriz de é
pois

Passo 3

Calculamos o polinômio característico chi(lambda)=det(A-lambda I). Temos
A-lambda I = 1-lambda & -2 & -2 0 & 1-lambda & 0 0 & 2 & 3-lambda
e, desenvolvendo pela primeira coluna,
chi(lambda) =(1-lambda)det1-lambda&02&3-lambda =(1-lambda)l((1-lambda)(3-lambda)-0r) =(1-lambda)^2(3-lambda)
Logo os autovalores são
lambda1 = 1(mu<iplicidade algébrica 2), lambda2 = 3(mu<iplicidade algébrica 1) éé

Passo 4

Para resolvemos :
Não há equação envolvendo , então é livre e . O espaço próprio é
que tem dimensão 2, igual à multiplicidade algébrica de .

Passo 5

Para
Logo (x=-z] e o espaço próprio é

Passo 6

Os espaços próprios E1 e E3 juntos têm dimensão 2+1=3, ou seja, há três autovetores linearmente independentes. Assim T é diagonalizável e uma base de autovetores é, por exemplo,
, (1,0,0),;(0,1,-1),;(-1,0,1)

Resposta

(1,0,0),;(0,1,-1),;(-1,0,1)
é uma base de R^3 formada por autovetores de T.

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