Determine uma base de autovetores de , caso possível. ( 2,0 pontos)
Passo 1
O enunciado nos dá um operador linear definido por
Queremos encontrar uma base de autovetores de . Para isso, vamos representar pela matriz associada na base canônica, calcular o polinômio característico para obter os autovalores e em seguida determinar os autovetores de cada autovalor.
Passo 2
Na base canônica , a matriz de é
pois
Passo 3
Calculamos o polinômio característico chi(lambda)=det(A-lambda I). Temos
Não há equação envolvendo , então é livre e . O espaço próprio é
que tem dimensão 2, igual à multiplicidade algébrica de .
Passo 5
Para
Logo (x=-z] e o espaço próprio é
Passo 6
Os espaços próprios E1 e E3 juntos têm dimensão 2+1=3, ou seja, há três autovetores linearmente independentes. Assim T é diagonalizável e uma base de autovetores é, por exemplo,