Seja A=[ccc1 & -2 & 0 -2 & 1 & 0 0 & 0 & -1]. Determine A^153.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & -2 & 0 -2 & 1 & 0 0 & 0 & -1
e pede A^153. Como A é bloco diagonal, podemos usar diagonalização (teorema espectral) para cada bloco.

Passo 2

Escrevemos
A = B & 0 0 & -1 , B = 1 & -2 -2 & 1
Então
A^153 = B^153 & 0 0 & (-1)^153 = B^153 & 0 0 & -1
Basta calcular B^153.

Passo 3

O polinômio característico de B é
det(B - lambda I) =1-lambda & -2 -2 & 1-lambda =(1-lambda)^2-4 =lambda^2-2lambda-3,
cuja raiz dupla dá autovalores lambda1=3 e lambda2=-1. Os respectivos projetores são
P1=121 & -1 -1 & 1, P2=121 & 1 1 & 1,
com P1+P2=I e PiPj=de<aijPi.

Passo 4

Pela diagonalização,
B^n = 3^nP1 + (-1)^nP2
Logo, para n=153 (ímpar, (-1)^153=-1),
B^153 =3^153121 & -1 -1 & 1 -1cdot121 & 1 1 & 1 =12 3^153-1 & -,3^153-1 -,3^153-1 & 3^153-1

Passo 5

Recolocando em A^153, obtemos
A^153 = 3^153-12 & -3^153+12 & 0[6pt] -3^153+12 & 3^153-12 & 0[4pt] 0 & 0 & -1 ]

Resposta

A^153 = 3^153-12 & -3^153+12 & 0[6pt] -3^153+12 & 3^153-12 & 0[4pt] 0 & 0 & -1 ]

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