Para que valores de reais o sistema linear tem solução? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear envolvendo as incógnitas
O conteúdo aqui é consistência de sistema linear com mais variáveis do que equações. Para existir solução, é preciso que é a matriz de coeficientes e é a matriz aumentada. Vamos usar eliminação de Gauss para calcular esses postos.
Passo 2
Escrevendo a matriz de coeficientes
A = 1 & -2 & 1 & 2 1 & 1 & -1 & 1 1 & 7 & -5 & -1
aplicamos
R2to R2-R1, R3to R3-R1
e depois
R3to R3-3R2,
obtendo
1 & -2 & 1 & 2 0 & 3 & -2 & -1 0 & 0 & 0 & 0
Como há duas linhas não-nulas, rank(A)=2.
Passo 3
Agora a matriz aumentada
sofre as mesmas operações:
e em seguida
Para que (mesmo posto de ), é necessário e suficiente que o último elemento à direita seja zero:
Passo 4
Portanto, o sistema tem solução exatamente quando
b3-3b2+2b1=0,
ou equivalentemente
2b1-3b2+b3=0
Resposta
O sistema é consistente (tem solução) se, e somente se,