Seja
um operador linear tal que
Seja
a matriz de
em relação à base canônica de
. Determine
. ( 2,0 pontos)
Passo 1
O enunciado pede a matriz de
, onde
é o operador linear dado por
O conteúdo é cálculo de potências de matriz usando o Teorema de Cayley–Hamilton e recorrências de coeficientes.
Passo 2
Em relação à base canônica, a matriz de
é
Passo 3
Calculamos o polinômio característico de
A :
Como
A é diagonalizável (autovalor
1 tem dimensão de autovetor 2), seu polinômio mínimo é
Passo 4
Da relação
A^2=4A-3I segue, para
n>=2 , a recorrência
Propondo a forma
substituímos na recorrência para achar
pn e
qn .
Passo 5
Da definição de
pn,qn e dos casos
n=0 e
n=1 :
A recorrência em coeficientes é
cuja solução padrão dá
Passo 6
Para
n=857 temos
Logo
Observando
chegamos à fórmula explícita.