Seja T: R^3 R^3 um operador linear tal que
T(x, y, z)=(x-2 y-2 z, y, 2 y+3 z)
Seja [T] a matriz de T em relação à base canônica de R^3. Determine [T]^857. ( 2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado pede a matriz de T^ 857, onde TcolonR^3toR^3 é o operador linear dado por
T(x,y,z)=(x-2y-2z,;y,;2y+3z)
O conteúdo é cálculo de potências de matriz usando o Teorema de Cayley–Hamilton e recorrências de coeficientes.

Passo 2

Em relação à base canônica, a matriz de T é
A=[T]= 1 & -2 & -2 0 & 1 & 0 0 & 2 & 3

Passo 3

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I) =(1-lambda)^2(3-lambda)
Como A é diagonalizável (autovalor 1 tem dimensão de autovetor 2), seu polinômio mínimo é
(A-I)(A-3I)=0 ;Longrightarrow; A^2-4A+3I=0

Passo 4

Da relação A^2=4A-3I segue, para n>=2, a recorrência
A^n ;=;4A^,n-1-3A^,n-2
Propondo a forma
A^n=pnA+qnI,
substituímos na recorrência para achar pn e qn.

Passo 5

Da definição de pn,qn e dos casos n=0 e n=1:
A^0=Iimplies p0=0,;q0=1, A^1=Aimplies p1=1,;q1=0
A recorrência em coeficientes é
pn=4pn-1-3pn-2, qn=4qn-1-3qn-2,
cuja solução padrão dá
pn=3^n-12, qn=3-3^n2

Passo 6

Para n=857 temos
p857=3^857-12, q857=3-3^8572
Logo
A^857 =p857A+q857I = p857+q857 & -2p857 & -2p857 0 & p857+q857 & 0 0 & 2p857 & 3p857+q857
Observando
p857+q857 =3^857-1+3-3^8572=1, 3p857+q857 =3,(3^857-1)+(3-3^857)2=3^857,
chegamos à fórmula explícita.

Resposta

[T]^857 = 1 & -(3^857-1) & -(3^857-1) 0 & 1 & 0 0 & 3^857-1 & 3^857

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