Calcule a inversa da matriz A abaixo usando o método de Gauss.
A=[ccc 2 & 1 & 1 4 & -6 & 0 -2 & 7 & 2 ]

Passo 1

O enunciado pede a inversa de
A = 2 & 1 & 1 4 & -6 & 0 -2 & 7 & 2
usando o método de Gauss–Jordan. A ideia é montar a matriz aumentada [Amid I] e aplicar operações elementares até chegar em [Imid A^-1].

Passo 2

Montamos
[Amid I] = [ccc|ccc 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 4 & -6 & 0 & 0 & 1 & 0 -2 & 7 & 2 & 0 & 0 & 1 ]
e escolhemos o pivô a11=2. Eliminamos abaixo:
  • R2 >=ts R2 - 2cdot R1
  • R3 >=ts R3 + R1
    ficando
[ccc|ccc 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & -8 & -2 & -2 & 1 & 0 0 & 8 & 3 & 1 & 0 & 1 ]

Passo 3

Agora o pivô em (2,2) é -8. Normalizamos R2 e eliminamos as outras entradas da coluna 2:
R2 >=ts 1-8R2, R1 >=ts R1 - 1cdot R2, R3 >=ts R3 - 8cdot R2
Isso gera
[ccc|ccc 2 & 0 & tfrac34 & tfrac34 & tfrac18 & 0 0 & 1 & tfrac14 & tfrac14 & -tfrac18 & 0 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 ]

Passo 4

O pivô em (3,3) já vale 1. Basta eliminar acima na coluna 3:
R1 >=ts R1 - tfrac34,R3, R2 >=ts R2 - tfrac14,R3
Fica
[ccc|ccc 2 & 0 & 0 & tfrac32 & -tfrac58 & -tfrac34 0 & 1 & 0 & tfrac12 & -tfrac38 & -tfrac14 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 ]

Passo 5

Para terminar, normalizamos R1 dividindo por 2, obtendo a identidade à esquerda e, à direita, a inversa que queremos:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & tfrac34 & -tfrac516 & -tfrac38 0 & 1 & 0 & tfrac12 & -tfrac38 & -tfrac14 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 ]

Resposta

A^-1 = 34 & -516 & -38 12 & -38 & -14 -1 & 1 & 1

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