O enunciado dá uma aplicação linear T:R^3toR^2 descrita em relação à base alpha do domínio e à base beta do contradomínio. Queremos encontrar ker(T)=vinR^3mid T(v)=0. Para isso, vamos (i) escrever um vetor genérico em coordenadas padrões (x,y,z), (ii) achar suas coordenadas (c1,c2,c3) na base alpha, (iii) usar a linearidade para obter T(x,y,z) em função de x,y,z, e (iv) resolver T(x,y,z)=0.
Passo 2
Seja um vetor genérico v=(x,y,z) no sistema de coordenadas padrão. Como alpha=v1,v2,v3 com
v1=(1,0,0), v2=(1,1,0), v3=(-1,0,1),
exigimos
c1v1+c2v2+c3v3=(x,y,z)
Isto é, o sistema
c1+c2-c3 = x, c2 = y, c3 = z
cuja solução é
c2 = y, c3 = z, c1 = x - y + z
Passo 3
Pela linearidade de T e pelas imagens dadas em alpha,