Sejam alpha e beta bases de R^3 e R^2, respectivamente:
alpha=[l 1 0 0 ],[l 1 1 0 ],[c -1 0 1 ], beta=[l 2 1 ],[l 1 1 ]
Seja T: R^3 R^2 uma aplicação linear tal que
T[l 1 0 0 ]=[l 1 0 ], T[l 1 1 0 ]=[l 1 1 ], T[c -1 0 1 ]=[c -1 1 ]
Calcule uma base para o ker(T).

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação linear T:R^3toR^2 descrita em relação à base alpha do domínio e à base beta do contradomínio. Queremos encontrar ker(T)=vinR^3mid T(v)=0. Para isso, vamos (i) escrever um vetor genérico em coordenadas padrões (x,y,z), (ii) achar suas coordenadas (c1,c2,c3) na base alpha, (iii) usar a linearidade para obter T(x,y,z) em função de x,y,z, e (iv) resolver T(x,y,z)=0.

Passo 2

Seja um vetor genérico v=(x,y,z) no sistema de coordenadas padrão. Como alpha=v1,v2,v3 com
v1=(1,0,0), v2=(1,1,0), v3=(-1,0,1),
exigimos
c1v1+c2v2+c3v3=(x,y,z)
Isto é, o sistema
c1+c2-c3 = x, c2 = y, c3 = z
cuja solução é
c2 = y, c3 = z, c1 = x - y + z

Passo 3

Pela linearidade de T e pelas imagens dadas em alpha,
T(v)=c1T(v1)+c2T(v2)+c3T(v3) =(c1,c2,c3)cdotl[(1,0),(1,1),(-1,1)r]
Substituindo c1,c2,c3,
T(x,y,z) =l(c1+c2-c3,;c2+c3r) =l((x-y+z)+y - z,;y+zr) =(x,;y+z)

Passo 4

Para achar
Daí . Tomando parâmetro , obtemos
Logo é um subespaço de dimensão 1 gerado por .

Resposta

Uma base de ker(T) é
(0,1,-1)

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