Calcule a inversa das matrizes
A=[lll 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 ] e B=[lll 1 & 0 & 0 3 & 1 & 0 5 & 7 & 1 ]

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular as inversas das matrizes A e B . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre matrizes. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como encontrar a inversa de uma matriz, que só existe se a matriz for quadrada e tiver um determinante diferente de zero. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos focar na matriz A :
A = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0
Para encontrar a inversa de A , precisamos seguir alguns passos: calcular o determinante de A , encontrar a matriz adjunta e então dividir a adjunta pelo determinante.

Passo 3

Vamos calcular o determinante de A . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser encontrado usando a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Vamos usar a expansão:
det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
Substituindo os valores de A :
det(A) = 0(0 cdot 0 - 1 cdot 1) - 1(1 cdot 0 - 1 cdot 1) + 0(1 cdot 1 - 0 cdot 1) = 0 - 1(-1) + 0 = 1
Como o determinante é 1 (diferente de zero), a inversa existe.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a matriz adjunta de A . A adjunta é a transposta da matriz dos cofatores. Vamos calcular cada cofator:
  • Cofator C11 = det 0 & 1 1 & 0 = (0)(0) - (1)(1) = -1
  • Cofator C12 = -det 1 & 1 1 & 0 = -(1 cdot 0 - 1 cdot 1) = 1
  • Cofator C13 = det 1 & 0 1 & 1 = (1)(1) - (0)(1) = 1
  • Cofator C21 = -det 1 & 0 1 & 0 = -(1 cdot 0 - 0 cdot 1) = 0
  • Cofator C22 = det 0 & 0 1 & 0 = (0)(0) - (0)(1) = 0
  • Cofator C23 = -det 0 & 1 1 & 1 = -(0 cdot 1 - 1 cdot 1) = 1
  • Cofator C31 = det 1 & 0 0 & 1 = (1)(1) - (0)(0) = 1
  • Cofator C32 = -det 0 & 0 1 & 1 = -(0 cdot 1 - 0 cdot 1) = 0
  • Cofator C33 = det 0 & 1 1 & 0 = (0)(0) - (1)(1) = -1
Então, a matriz dos cofatores é:
-1 & 1 & 1 0 & 0 & 1 1 & 0 & -1
A adjunta de A é a transposta dessa matriz:
adj(A) = -1 & 0 & 1 1 & 0 & 0 1 & 1 & -1

Passo 5

Agora, para encontrar a inversa de A , usamos a fórmula:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Já que det(A) = 1 , fica:
A^-1 = adj(A) = -1 & 0 & 1 1 & 0 & 0 1 & 1 & -1

Passo 6

Agora, vamos calcular a inversa da matriz B :
B = 1 & 0 & 0 3 & 1 & 0 5 & 7 & 1
Perceba que B é uma matriz triangular inferior, o que facilita o cálculo da inversa utilizando a técnica de substituição.

Passo 7

Primeiro, confirmamos que B é invertível. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal:
det(B) = 1 times 1 times 1 = 1 neq 0
Então, a inversa existe.

Passo 8

Para encontrar B^-1 , vamos supor que:
B^-1 = a & 0 & 0 b & c & 0 d & e & f
Multiplicando B por B^-1 deve resultar na matriz identidade I :
B cdot B^-1 = I
Isso nos dá um sistema de equações para resolver os coeficientes a, b, c, d, e, f .

Passo 9

Multiplicando as matrizes:
1 & 0 & 0 3 & 1 & 0 5 & 7 & 1 a & 0 & 0 b & c & 0 d & e & f = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Realizando a multiplicação, obtemos:
1 cdot a + 0 cdot b + 0 cdot d = 1 1 cdot 0 + 0 cdot c + 0 cdot e = 0 1 cdot 0 + 0 cdot 0 + 0 cdot f = 0 3 cdot a + 1 cdot b + 0 cdot d = 0 3 cdot 0 + 1 cdot c + 0 cdot e = 1 3 cdot 0 + 1 cdot 0 + 0 cdot f = 0 5 cdot a + 7 cdot b + 1 cdot d = 0 5 cdot 0 + 7 cdot c + 1 cdot e = 0 5 cdot 0 + 7 cdot 0 + 1 cdot f = 1
Simplificando:
a = 1 0 = 0 0 = 0 3a + b = 0 c = 1 0 = 0 5a + 7b + d = 0 7c + e = 0 f = 1

Passo 10

Resolvendo as equações:
  1. De a = 1 .
  2. De 3a + b = 0 :
3(1) + b = 0 implies b = -3
  1. De c = 1 .
  2. De 5a + 7b + d = 0 :
5(1) + 7(-3) + d = 0 implies 5 - 21 + d = 0 implies d = 16
  1. De 7c + e = 0 :
7(1) + e = 0 implies e = -7
  1. De f = 1 .

Passo 11

Assim, os coeficientes encontrados são:
a = 1, b = -3, c = 1, d = 16, e = -7, f = 1
Portanto, a inversa de B é:
B^-1 = 1 & 0 & 0 -3 & 1 & 0 16 & -7 & 1

Resposta

As inversas das matrizes são:
A^-1 = -1 & 0 & 1 1 & 0 & 0 1 & 1 & -1 e B^-1 = 1 & 0 & 0 -3 & 1 & 0 16 & -7 & 1

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