Determinar o valor de n para que seja de 30^circ o ângulo entre as retas:
r1 :eixo O y e r2:cy=n x-1 z=2 x

Passo 1

O enunciado pede determinar n tal que o ângulo entre a reta r1, que é o eixo Oy, e a reta r2, definida por
y = n x - 1, z = 2x,
seja 30^circ. O conteúdo aqui é ângulo entre retas no espaço, e vamos usar vetores diretores e produto escalar.

Passo 2

Encontramos os vetores diretores de cada reta. Para r1, como é o eixo Oy, podemos escolher
v1 = (0,1,0)
Para r2, tomamos x = t como parâmetro, então y = n t - 1 e z = 2t, logo
v2 = (1,n,2)

Passo 3

Aplicamos a fórmula do produto escalar para o ângulo theta entre duas retas:
costheta = lvert v1 cdot v2rvertlVert v1rVert,lVert v2rVert
Calculamos
v1 cdot v2 = n, lVert v1rVert = 1, lVert v2rVert = raiz1 + n^2 + 4 = raizn^2 + 5
Como queremos theta = 30^circ, temos cos 30^circ = tfracraiz32, portanto
lvert nrvertraizn^2 + 5 = raiz32

Passo 4

Elevando ao quadrado ambos os lados, resulta
n^2n^2 + 5 = 34 Longrightarrow 4n^2 = 3n^2 + 15 Longrightarrow n^2 = 15 Longrightarrow n = pm raiz15

Resposta

n = pm raiz15

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