Calcule a inversa das matrizes a seguir, quando existir.
(17) \left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 2 \\\\ 2 & 1 & 3 \\\\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: calcular a inversa da matriz (quando existir). A matriz dada é
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\[4pt] 2 & 1 & 3 \\[4pt] 1 & 1 & 0\end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz A é 3\times3.
  • Precisa-se encontrar A^{-1}, caso ela exista (isto é, caso A seja invertível).]

Passo 2

Conceito e primeira verificação (determinante):
  • Uma matriz quadrada A tem inversa se, e somente se, \det(A)\neq 0.
  • Vou calcular \det(A). Para uma matriz 3\times3 com elementos a_{ij} uma fórmula prática é
\det(A)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).
Aqui a_{11}=1, a_{12}=0, a_{13}=2; a_{21}=2, a_{22}=1, a_{23}=3; a_{31}=1, a_{32}=1, a_{33}=0. Substituindo:
\det(A)=1\cdot(1\cdot0-3\cdot1)-0\cdot(\cdots)+2\cdot(2\cdot1-1\cdot1).
Calcule cada parte:
1\cdot(0-3) = -3, \qquad 2\cdot(2-1)=2.
Portanto
\det(A)=-3+2=-1.
Como \det(A)=-1\neq 0, a matriz A é invertível e a inversa existe. Agora vamos calcular explicitamente A^{-1}.

Passo 3

Método escolhido: eliminação de Gauss-Jordan (matriz aumentada).
  • Ideia: formar a matriz aumentada [A\mid I] e aplicar operações elementares de linha até transformar o lado esquerdo em I. O lado direito resultante será A^{-1}.
  • Operações elementares permitidas: trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar a múltiplo de uma linha a outra. Essas operações preservam a equivalência e simulam multiplicação por matrizes elementares.
Começo montando a matriz aumentada:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 4

Eliminar entradas abaixo do pivô da primeira coluna (usar a primeira linha como pivô).
  • Fazer R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
  • Fazer R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Calcule cada nova linha:
Para R_2-2R_1:
R_2: \\ [2,1,3\mid 0,1,0] - 2\cdot[1,0,2\mid 1,0,0] = [0,1,-1\mid -2,1,0].
Para R_3-R_1:
R_3: \\ [1,1,0\mid 0,0,1] - [1,0,2\mid 1,0,0] = [0,1,-2\mid -1,0,1].
Aumentada passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -2 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Eliminar a entrada abaixo do pivô da segunda coluna (usar a segunda linha como pivô).
  • Fazer R_3 \leftarrow R_3 - R_2.
Calcule:
R_3: \\ [0,1,-2\mid -1,0,1] - [0,1,-1\mid -2,1,0] = [0,0,-1\mid 1,-1,1].
Agora a matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Normalizar o pivô da terceira linha para 1.
  • Fazer R_3 \leftarrow -1\cdot R_3 (multiplicar por -1).
Obtemos
R_3 = [0,0,1\mid -1,1,-1].
Matriz aumentada:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & -1 \end{array}\right].]

Passo 7

Eliminar as entradas acima do pivô da terceira coluna para finalizar a redução à forma identidade.
  • Fazer R_2 \leftarrow R_2 + R_3 (para zerar o -1 em posição (2,3)).
  • Fazer R_1 \leftarrow R_1 - 2R_3 (para zerar o 2 em posição (1,3)).
Calcule cada atualização das partes aumentadas:
Para R_2+R_3:
R_2: [0,1,-1\mid -2,1,0] + [0,0,1\mid -1,1,-1] = [0,1,0\mid -3,2,-1].
Para R_1-2R_3:
R_1: [1,0,2\mid 1,0,0] - 2\cdot[0,0,1\mid -1,1,-1] = [1,0,0\mid 1-2(-1),\\\ 0-2(1),\\\ 0-2(-1)].
Calcule a parte direita com cuidado:
1-2(-1)=1+2=3,\qquad 0-2(1)=-2,\qquad 0-2(-1)=0+2=2.
Logo R_1=[1,0,0\mid 3,-2,2].
Após essas operações a matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 3 & -2 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -3 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & -1 \end{array}\right].
O lado esquerdo é agora a identidade I_3. Portanto o lado direito é a inversa A^{-1}.]

Passo 8

Apresentação e breve verificação (conceito de verificação):
  • A inversa obtida é
A^{-1}=\begin{pmatrix} 3 & -2 & 2\\[4pt] -3 & 2 & -1\\[4pt] -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
  • Uma checagem rápida (conceito): multiplicar A por A^{-1} deve fornecer I_3. Pode-se verificar, por exemplo, a primeira coluna de A^{-1} como solução do sistema A x = e_1 — as operações que fiz garantem isso. (Se necessário, pode-se multiplicar explicitamente A\cdot A^{-1} entrada a entrada para confirmar que dá a identidade.)]

Resposta

\begin{pmatrix} 3 & -2 & 2\\[4pt] -3 & 2 & -1\\[4pt] -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}

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