Resolva os sistemas lineares a seguir por Gauss ou por Cramer, conforme o caso.
(22) \left\{\begin{aligned} x+3 y+5 z & =11 \\\\ 3 x-y+4 z & =3 \\\ x+y+z & =5\end{aligned}\right.
O que se pede é resolver o sistema, ou seja, encontrar os valores de x, y e z que satisfazem as três equações simultaneamente. As informações relevantes são os coeficientes e termos independentes indicados acima.]
Passo 2
Escolho resolver por eliminação de Gauss (método de eliminação). Motivo: é direto para sistemas 3\times3, evita calcular determinantes e permite ver claramente as operações que preservam as soluções. Rápido resumo do método:
Escreve-se a matriz aumentada do sistema (coeficientes + coluna dos termos).
Aplica-se operações elementares nas linhas (troca de linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplo de uma linha a outra) para obter uma matriz triangular superior (zeros abaixo da diagonal principal).
Faz-se substituição regressiva (back‑substitution) para obter as incógnitas.
Essas operações preservam o conjunto de soluções porque correspondem a combinações lineares equivalentes das equações.
Passo 3
Matriz aumentada do sistema (peguei os coeficientes e termos independentes das equações dadas):
Objetivo: zerar as entradas abaixo do pivô da primeira coluna (pivot em \,a_{11}=1). Uso operações do tipo \text{R}_i\leftarrow\text{R}_i - m\cdot\text{R}_1.
Agora pivotar na segunda linha, segunda coluna (a_{22}=-10). Eliminar a entrada abaixo (a_{32}=-2). O multiplicador é m=\dfrac{-2}{-10}=\dfrac{1}{5}. Faço \text{R}_3\leftarrow \text{R}_3 - \dfrac{1}{5}\text{R}_2.
Calculemos cada componente de \text{R}_3:
Assim a terceira linha fica \left[0\;\;0\;\;-\dfrac{9}{5}\;\;0\right]. Podemos multiplicar essa linha por 5 (operação permitida) para eliminar o denominador, obtendo \left[0\;\;0\;\;-9\;\;0\right].
A matriz resultante é
x + 3\cdot 3 + 5\cdot 0 = 11 \quad\Rightarrow\quad x + 9 = 11 \quad\Rightarrow\quad x=2.
Passo 10
Interpretação final: obtivemos uma solução única (x,y,z)=(2,3,0). Isso significa que o sistema é compatível determinado. Como verificação rápida, pode-se substituir os valores nas três equações originais (faça como exercício rápido): todas devem ser satisfeitas — por exemplo, na primeira 2+3\cdot3+5\cdot0=2+9=11, ok.