Resolva os sistemas lineares a seguir por Gauss ou por Cramer, conforme o caso.
(22) \left\{\begin{aligned} x+3 y+5 z & =11 \\\\ 3 x-y+4 z & =3 \\\ x+y+z & =5\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x+3y+5z=11\\[4pt] 3x-y+4z=3\\[4pt] x+y+z=5 \end{cases}
O que se pede é resolver o sistema, ou seja, encontrar os valores de x, y e z que satisfazem as três equações simultaneamente. As informações relevantes são os coeficientes e termos independentes indicados acima.]

Passo 2

Escolho resolver por eliminação de Gauss (método de eliminação). Motivo: é direto para sistemas 3\times3, evita calcular determinantes e permite ver claramente as operações que preservam as soluções. Rápido resumo do método:
  • Escreve-se a matriz aumentada do sistema (coeficientes + coluna dos termos).
  • Aplica-se operações elementares nas linhas (troca de linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplo de uma linha a outra) para obter uma matriz triangular superior (zeros abaixo da diagonal principal).
  • Faz-se substituição regressiva (back‑substitution) para obter as incógnitas.
    Essas operações preservam o conjunto de soluções porque correspondem a combinações lineares equivalentes das equações.

Passo 3

Matriz aumentada do sistema (peguei os coeficientes e termos independentes das equações dadas):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 5 & 11\\[4pt] 3 & -1 & 4 & 3\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 5 \end{array}\right]]

Passo 4

Objetivo: zerar as entradas abaixo do pivô da primeira coluna (pivot em \,a_{11}=1). Uso operações do tipo \text{R}_i\leftarrow\text{R}_i - m\cdot\text{R}_1.
  • \text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - 3\text{R}_1:
\begin{aligned} 3-3\cdot1&=0,\\\\ -1-3\cdot3&=-1-9=-10,\\\\ 4-3\cdot5&=4-15=-11,\\\\ 3-3\cdot11&=3-33=-30. \end{aligned}
  • \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - \text{R}_1:
\begin{aligned} 1-1&=0,\\\\ 1-3&=-2,\\\\ 1-5&=-4,\\\\ 5-11&=-6. \end{aligned}
Nova matriz aumentada:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 5 & 11\\[4pt] 0 & -10 & -11 & -30\\[4pt] 0 & -2 & -4 & -6 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora pivotar na segunda linha, segunda coluna ( a_{22}=-10). Eliminar a entrada abaixo ( a_{32}=-2). O multiplicador é m=\dfrac{-2}{-10}=\dfrac{1}{5}. Faço \text{R}_3\leftarrow \text{R}_3 - \dfrac{1}{5}\text{R}_2.
Calculemos cada componente de \text{R}_3:
\begin{aligned} 0 - \dfrac{1}{5}\cdot 0 &= 0,\\[4pt] -2 - \dfrac{1}{5}\cdot(-10) &= -2 - (-2)=0,\\[4pt] -4 - \dfrac{1}{5}\cdot(-11) &= -4 - \left(-\dfrac{11}{5}\right)= -4 + \dfrac{11}{5}= -\dfrac{20}{5}+\dfrac{11}{5}= -\dfrac{9}{5},\\[4pt] -6 - \dfrac{1}{5}\cdot(-30) &= -6 - (-6)=0. \end{aligned}
Assim a terceira linha fica \left[0\;\;0\;\;-\dfrac{9}{5}\;\;0\right]. Podemos multiplicar essa linha por 5 (operação permitida) para eliminar o denominador, obtendo \left[0\;\;0\;\;-9\;\;0\right].
A matriz resultante é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 5 & 11\\[4pt] 0 & -10 & -11 & -30\\[4pt] 0 & 0 & -9 & 0 \end{array}\right]]

Passo 6

Agora a matriz está em forma triangular superior. As equações correspondentes (linha por linha) são:
\begin{aligned} \text{(1)}\\ &x + 3y + 5z = 11,\\[4pt] \text{(2)}\\ &-10y -11z = -30,\\[4pt] \text{(3)}\\ &-9z = 0. \end{aligned}]

Passo 7

Resolver a partir de baixo (substituição regressiva).
Da equação \text{(3)}:
-9z=0 \quad\Rightarrow\quad z=0.
Expliquei: isolou-se z dividindo ambos os lados por -9.

Passo 8

Substituir z=0 em \text{(2)}:
-10y -11\cdot 0 = -30 \quad\Rightarrow\quad -10y = -30 \quad\Rightarrow\quad y=3.
Mostrei a operação: dividir por -10.

Passo 9

Substituir y=3 e z=0 em \text{(1)}:
x + 3\cdot 3 + 5\cdot 0 = 11 \quad\Rightarrow\quad x + 9 = 11 \quad\Rightarrow\quad x=2.

Passo 10

Interpretação final: obtivemos uma solução única (x,y,z)=(2,3,0). Isso significa que o sistema é compatível determinado. Como verificação rápida, pode-se substituir os valores nas três equações originais (faça como exercício rápido): todas devem ser satisfeitas — por exemplo, na primeira 2+3\cdot3+5\cdot0=2+9=11, ok.

Resposta

(x,y,z)=(2,3,0)

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