Resolva os sistemas lineares a seguir por Gauss ou por Cramer, conforme o caso.
(23) \left\{\begin{array}{l}y+2 z=4 \\\\ 2 x+y=4 \\\\ 3 x+y-z=-2\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear de três equações e três incógnitas e pede que ele seja resolvido:
As três equações acima formam um sistema linear 3×3.
A tarefa é encontrar todos os pares (x,y,z) que satisfaçam simultaneamente as três equações (ou concluir que não existe solução).]
Passo 2
Escolha do método: vou usar eliminação de Gauss (método da eliminação por linhas). Justificativa curta e didática:
O método de Gauss transforma o sistema num sistema equivalente triangular (ou em forma escalonada) através de operações elementares sobre as equações, tornando fácil encontrar as incógnitas por substituição regressiva.
As operações elementares permitidas são: (i) trocar duas equações; (ii) multiplicar uma equação por um escalar não nulo; (iii) somar a uma equação um múltiplo de outra. Essas operações não alteram o conjunto de soluções do sistema.
Para sistemas 3×3 Gauss é direto e permite detectar (com clareza) casos de infinitas soluções ou inconsistência (nenhuma solução). Então prosseguimos por Gauss.
Passo 3
Escrever a matriz aumentada do sistema (colocando as colunas na ordem x,y,z e a coluna ampliada com os termos constantes). Observação: da primeira equação não aparece x, então seu coeficiente é 0.
Explicação: cada linha corresponde a uma equação; por exemplo a segunda linha representa 2x+1\cdot y+0\cdot z=4.]
Passo 4
Como primeiro passo prático de eliminação, é conveniente ter um pivô não nulo na primeira linha e primeira coluna (coeficiente de x). Troco a linha 1 pela linha 2 (operação elementar do tipo trocar linhas):
Agora usamos a segunda linha como pivô para y (o coeficiente de y em R_2 é 1, o que é conveniente). Queremos zerar o coeficiente de y em R_3. Como em R_3 o coeficiente de y é -\dfrac{1}{2}, somamos \dfrac{1}{2} vezes R_2 à R_3:
Interpretação do resultado final: a terceira linha corresponde à igualdade
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = -6,
ou seja
0 = -6.
Isto é uma contradição. Quando, ao escalonar um sistema por Gauss, aparece uma linha com todos os coeficientes zero e termo independente não zero (forma [0\\\ 0\\\ 0\mid c] com c\neq0), isso significa que o sistema é inconsistente: não existe nenhuma tripla (x,y,z) que satisfaça simultaneamente todas as equações. Em termos geométricos: as três superfícies planas representadas pelas equações não se intersectam em um ponto comum.