Resolva os sistemas lineares a seguir por Gauss ou por Cramer, conforme o caso.
(23) \left\{\begin{array}{l}y+2 z=4 \\\\ 2 x+y=4 \\\\ 3 x+y-z=-2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de três equações e três incógnitas e pede que ele seja resolvido:
\begin{cases} y+2z=4,\\[4pt] 2x+y=4,\\[4pt] 3x+y-z=-2. \end{cases}
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • As incógnitas são x, y e z.
  • As três equações acima formam um sistema linear 3×3.
  • A tarefa é encontrar todos os pares (x,y,z) que satisfaçam simultaneamente as três equações (ou concluir que não existe solução).]

Passo 2

Escolha do método: vou usar eliminação de Gauss (método da eliminação por linhas). Justificativa curta e didática:
  • O método de Gauss transforma o sistema num sistema equivalente triangular (ou em forma escalonada) através de operações elementares sobre as equações, tornando fácil encontrar as incógnitas por substituição regressiva.
  • As operações elementares permitidas são: (i) trocar duas equações; (ii) multiplicar uma equação por um escalar não nulo; (iii) somar a uma equação um múltiplo de outra. Essas operações não alteram o conjunto de soluções do sistema.
  • Para sistemas 3×3 Gauss é direto e permite detectar (com clareza) casos de infinitas soluções ou inconsistência (nenhuma solução). Então prosseguimos por Gauss.

Passo 3

Escrever a matriz aumentada do sistema (colocando as colunas na ordem x,y,z e a coluna ampliada com os termos constantes). Observação: da primeira equação não aparece x, então seu coeficiente é 0.
A matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 2 & 4\\[4pt] 2 & 1 & 0 & 4\\[4pt] 3 & 1 & -1 & -2 \end{array}\right].
Explicação: cada linha corresponde a uma equação; por exemplo a segunda linha representa 2x+1\cdot y+0\cdot z=4.]

Passo 4

Como primeiro passo prático de eliminação, é conveniente ter um pivô não nulo na primeira linha e primeira coluna (coeficiente de x). Troco a linha 1 pela linha 2 (operação elementar do tipo trocar linhas):
R_1 \leftrightarrow R_2
Fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 0 & 4\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 4\\[4pt] 3 & 1 & -1 & -2 \end{array}\right].
Agora o pivô na posição (1,1) é 2.]

Passo 5

Eliminar o coeficiente de x na terceira linha usando a primeira linha. O multiplicador para zerar o 3 em R_3 é m=\dfrac{3}{2}. Aplicamos
R_3 \leftarrow R_3 - \frac{3}{2}R_1.
Calculemos entrada a entrada (mostrando conta):
  • Para a coluna x: 3 - \dfrac{3}{2}\cdot 2 = 3 - 3 = 0.
  • Para a coluna y: 1 - \dfrac{3}{2}\cdot 1 = 1 - \dfrac{3}{2} = -\dfrac{1}{2}.
  • Para a coluna z: -1 - \dfrac{3}{2}\cdot 0 = -1.
  • Para o termo independente: -2 - \dfrac{3}{2}\cdot 4 = -2 - 6 = -8.
Assim a matriz vira
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 0 & 4\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 4\\[4pt] 0 & -\dfrac{1}{2} & -1 & -8 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora usamos a segunda linha como pivô para y (o coeficiente de y em R_2 é 1, o que é conveniente). Queremos zerar o coeficiente de y em R_3. Como em R_3 o coeficiente de y é -\dfrac{1}{2}, somamos \dfrac{1}{2} vezes R_2 à R_3:
R_3 \leftarrow R_3 + \frac{1}{2}R_2.
Fazendo as contas entrada a entrada:
  • Coluna x: 0 + \dfrac{1}{2}\cdot 0 = 0.
  • Coluna y: -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cdot 1 = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 0.
  • Coluna z: -1 + \dfrac{1}{2}\cdot 2 = -1 + 1 = 0.
  • Termo independente: -8 + \dfrac{1}{2}\cdot 4 = -8 + 2 = -6.
Assim a linha 3 fica [0\\\ 0\\\ 0\mid -6] e a matriz é
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 0 & 4\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -6 \end{array}\right].]

Passo 7

Interpretação do resultado final: a terceira linha corresponde à igualdade
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = -6,
ou seja
0 = -6.
Isto é uma contradição. Quando, ao escalonar um sistema por Gauss, aparece uma linha com todos os coeficientes zero e termo independente não zero (forma [0\\\ 0\\\ 0\mid c] com c\neq0), isso significa que o sistema é inconsistente: não existe nenhuma tripla (x,y,z) que satisfaça simultaneamente todas as equações. Em termos geométricos: as três superfícies planas representadas pelas equações não se intersectam em um ponto comum.

Resposta

\text{Sistema incompatível (sem solução)}íçã

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