Calcule a inversa da seguinte matriz
[cc 12(e^x+e^-x) & 12(e^x-e^-x) & 12(e^x-e^-x) & 12(e^x+e^-x) ]

Passo 1

O enunciado pede a inversa de uma matriz 2times2 cujos elementos são
12(e^x+e^-x), 12(e^x-e^-x)
Disso reconhecemos as funções hiperbólicas
cosh x=tfrac12(e^x+e^-x) e sinh x=tfrac12(e^x-e^-x). Vamos usar a fórmula de inversão de matrizes 2times2 e a identidade cosh^2x-sinh^2x=1.

Passo 2

Escrevemos a matriz dada em termos de cosh e sinh:
A = cosh x & sinh x sinh x & cosh x

Passo 3

Calculamos o determinante de . Para uma matriz ,
. Aqui

Passo 4

Usamos a fórmula da inversa de matriz 2times2:
A^-1 = 1det A d & -b -c & a
Como det A=1, temos
A^-1 = cosh x & -sinh x -sinh x & cosh x

Passo 5

Voltando às exponenciais, -sinh x=-tfrac12(e^x-e^-x)=tfrac12(e^-x-e^x). Portanto
A^-1 = tfrac12(e^x+e^-x) & tfrac12(e^-x-e^x)[6pt] tfrac12(e^-x-e^x) & tfrac12(e^x+e^-x) ]

Resposta

tfrac12(e^x+e^-x) & tfrac12(e^-x-e^x) tfrac12(e^-x-e^x) & tfrac12(e^x+e^-x)

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