O enunciado pede a inversa de uma matriz 2times2 cujos elementos são
12(e^x+e^-x), 12(e^x-e^-x)
Disso reconhecemos as funções hiperbólicas cosh x=tfrac12(e^x+e^-x) e sinh x=tfrac12(e^x-e^-x). Vamos usar a fórmula de inversão de matrizes 2times2 e a identidade cosh^2x-sinh^2x=1.
Passo 2
Escrevemos a matriz dada em termos de cosh e sinh:
A = cosh x & sinh x sinh x & cosh x
Passo 3
Calculamos o determinante de . Para uma matriz , . Aqui
Passo 4
Usamos a fórmula da inversa de matriz 2times2:
A^-1 = 1det A d & -b -c & a
Como det A=1, temos
A^-1 = cosh x & -sinh x -sinh x & cosh x
Passo 5
Voltando às exponenciais, -sinh x=-tfrac12(e^x-e^-x)=tfrac12(e^-x-e^x). Portanto