Calcule a inversa das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado fornece a função
dada por
O que é pedido: calcular a(s) inversa(s) de
.
Informações relevantes que temos (tiradas do próprio enunciado):
- A expressão da função é
. - Se nada for dito, a domínio natural considerado é
(todos os números reais). - Observação imediata sobre a imagem (contraposição): como
para todo , os valores de satisfazem . Logo a imagem (contradomínio necessário para a inversa) é .
Passo 2
O que significa “ter inversa” e por que pode haver problema aqui.
- Definição curta: uma função tem inversa quando é bijetora (injeção + sobrejeção) entre domínio e imagem. A inversa troca entradas por saídas: se
então . - Como checar injetividade de forma prática: usar o “teste da linha horizontal” ou verificar monotonicidade (se a função é estritamente crescente ou decrescente em todo o domínio, é injetora).
- No nosso caso,
é uma parábola com vértice em que abre para cima. Isso normalmente NÃO é injetora em todo porque dois valores diferentes de (por exemplo e ) podem dar o mesmo . Portanto não existe uma inversa definida em todo sem restringir o domínio.
Passo 3
Mostrar explicitamente que a função não é injetora em
.
- Observe que
. Assim cada valor positivo de corresponde a dois s simétricos ( e ), exceto . Isso quebra a unicidade necessária para a inversa. - Derivada (para ver monotonicidade): calcule
. Então para (função decrescente à esquerda de 0) e para (função crescente à direita de 0). Logo não é monotônica em todo .
Conclusão: é preciso restringir o domínio para ter inversa. Os cortes naturais são
(ramo direito) ou
(ramo esquerdo). Cada um desses ramos é monotônico e, portanto, invertível.
Passo 4
Encontrar a inversa (algebricamente), resolvendo para
.
Comece escrevendo
e isolando
:
Multiplicando por
:
Extraindo raiz quadrada:
Aqui aparecem as duas soluções
e
. Para transformar isso em uma função inversa única, escolhe-se o sinal de acordo com a restrição de domínio original:
- Se restringirmos o domínio para
, então é não negativo e devemos tomar a raiz positiva: - Se restringirmos o domínio para
, então é não positivo e devemos tomar a raiz negativa:
Em ambos os casos o domínio da inversa é a imagem da função original, que é
.
Passo 5
Verificar rapidamente que as fórmulas realmente são inversas (checagem de composição).
Tomemos o ramo
. Seja
e
. Então
e para
,
onde ao simplificar
utilizou-se que
. Isso confirma que
é realmente a inversa no ramo
.
Para o ramo
a checagem é análoga: escrevendo
obtém-se
e
para
(aqui usa-se
porque
).
Passo 6
Resumo prático para a prova (dicas rápidas)
- Sempre verifique se a função é injetora no domínio considerado. Se não for, restrinja o domínio a um ramo monotônico.
- Para funções do tipo
o corte típico é em (raiz principal) ou (raiz negativa). - Isolar
resolvendo e escolher o sinal correto da raiz conforme a restrição de domínio. - Verifique por composição
e no domínio restrito.