Calcule a inversa das seguintes funções:
f(x)=\frac{x^{2}}{4}

Passo 1

O enunciado fornece a função f dada por
f(x)=\frac{x^{2}}{4}.
O que é pedido: calcular a(s) inversa(s) de f.
Informações relevantes que temos (tiradas do próprio enunciado):
  • A expressão da função é f(x)=\dfrac{x^{2}}{4}.
  • Se nada for dito, a domínio natural considerado é \mathbb{R} (todos os números reais).
  • Observação imediata sobre a imagem (contraposição): como x^{2}\ge 0 para todo x\in\mathbb{R}, os valores de f(x) satisfazem f(x)\ge 0. Logo a imagem (contradomínio necessário para a inversa) é [0,\infty).

Passo 2

O que significa “ter inversa” e por que pode haver problema aqui.
  • Definição curta: uma função tem inversa quando é bijetora (injeção + sobrejeção) entre domínio e imagem. A inversa troca entradas por saídas: se y=f(x) então x=f^{-1}(y).
  • Como checar injetividade de forma prática: usar o “teste da linha horizontal” ou verificar monotonicidade (se a função é estritamente crescente ou decrescente em todo o domínio, é injetora).
  • No nosso caso, f(x)=\dfrac{x^{2}}{4} é uma parábola com vértice em 0 que abre para cima. Isso normalmente NÃO é injetora em todo \mathbb{R} porque dois valores diferentes de x (por exemplo x e -x) podem dar o mesmo f(x). Portanto não existe uma inversa definida em todo \mathbb{R} sem restringir o domínio.

Passo 3

Mostrar explicitamente que a função não é injetora em \mathbb{R}.
  • Observe que f(-x)=\dfrac{(-x)^{2}}{4}=\dfrac{x^{2}}{4}=f(x). Assim cada valor positivo de y corresponde a dois xs simétricos ( x e -x), exceto x=0. Isso quebra a unicidade necessária para a inversa.
  • Derivada (para ver monotonicidade): calcule f'(x)=\dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^{2}}{4}\right)=\dfrac{x}{2}. Então f'(x)<0 para x<0 (função decrescente à esquerda de 0) e f'(x)>0 para x>0 (função crescente à direita de 0). Logo não é monotônica em todo \mathbb{R}.
Conclusão: é preciso restringir o domínio para ter inversa. Os cortes naturais são x\ge 0 (ramo direito) ou x\le 0 (ramo esquerdo). Cada um desses ramos é monotônico e, portanto, invertível.

Passo 4

Encontrar a inversa (algebricamente), resolvendo para x.
Comece escrevendo y=f(x) e isolando x:
y=\frac{x^{2}}{4}.
Multiplicando por 4:
4y = x^{2}.
Extraindo raiz quadrada:
x = \pm 2\sqrt{y}.
Aqui aparecem as duas soluções x=2\sqrt{y} e x=-2\sqrt{y}. Para transformar isso em uma função inversa única, escolhe-se o sinal de acordo com a restrição de domínio original:
  • Se restringirmos o domínio para x\ge 0, então x é não negativo e devemos tomar a raiz positiva: f^{-1}(y)=2\sqrt{y},\qquad y\ge 0.
  • Se restringirmos o domínio para x\le 0, então x é não positivo e devemos tomar a raiz negativa: f^{-1}(y)=-2\sqrt{y},\qquad y\ge 0.
Em ambos os casos o domínio da inversa é a imagem da função original, que é [0,\infty).

Passo 5

Verificar rapidamente que as fórmulas realmente são inversas (checagem de composição).
Tomemos o ramo x\ge 0. Seja y\ge 0 e g(y)=2\sqrt{y}. Então
f(g(y))=\frac{(2\sqrt{y})^{2}}{4}=\frac{4y}{4}=y,
e para x\ge 0,
g(f(x))=2\sqrt{\frac{x^{2}}{4}}=2\cdot\frac{x}{2}=x,
onde ao simplificar \sqrt{x^{2}}=x utilizou-se que x\ge 0. Isso confirma que g é realmente a inversa no ramo x\ge 0.
Para o ramo x\le 0 a checagem é análoga: escrevendo h(y)=-2\sqrt{y} obtém-se f(h(y))=y e h(f(x))=x para x\le 0 (aqui usa-se \sqrt{x^{2}}=-x porque x\le 0).

Passo 6

Resumo prático para a prova (dicas rápidas)
  • Sempre verifique se a função é injetora no domínio considerado. Se não for, restrinja o domínio a um ramo monotônico.
  • Para funções do tipo x^{2} o corte típico é em x\ge 0 (raiz principal) ou x\le 0 (raiz negativa).
  • Isolar x resolvendo y=f(x) e escolher o sinal correto da raiz conforme a restrição de domínio.
  • Verifique por composição f(f^{-1}(y))=y e f^{-1}(f(x))=x no domínio restrito.

Resposta

f^{-1}(y)=2\sqrt{y},\\ \text{para }y\ge 0 (inversa quando o domínio de f é restringido a x\ge 0)
f^{-1}(y)=-2\sqrt{y},\\ \text{para }y\ge 0 (inversa quando o domínio de f é restringido a x\le 0)

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