Calcule a inversa das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para calcular a inversa de
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A regra da função é
. - Não foi informado domínio explicitamente; vou assumir o domínio padrão
(todos os reais), que é natural para essa função linear. - O pedido é: encontrar
, a função que “desfaz” .
Passo 2
O que significa “inversa” de uma função (explicação didática, passo a passo)?
- Se
associa a cada um número por , a inversa é a função que recebe e retorna o original. Ou seja, quando . - Formalmente,
deve satisfazer, para todo no domínio apropriado:
- Método prático para encontrar a inversa: trocar
por , resolver a equação por em função de , e depois trocar por na expressão final para escrever a inversa como função de .
Passo 3
Aplicando o método prático: escrevo a regra com
:
Agora isolo
em função de
. Subtraio
dos dois lados:
Esse
é justamente a expressão de
em termos de
que queremos.
Passo 4
Troco o papel das letras para escrever a inversa como função de
: substituir
por
na expressão obtida. Assim obtemos
Explicando: quando a entrada é
, a inversa devolve
; isso “desfaz” a soma de
feita por
.
Passo 5
Domínio e imagem (por que isso funciona para todos os reais):
- Para
, qualquer gera ; a função é linear com coeficiente angular , portanto é injetora (não dá valores repetidos) e sobrejetora sobre . Logo é bijetora e tem inversa definida em todo . - Consequentemente
também tem domínio e imagem .
Passo 6
Verificação por composição (para ter certeza de que a inversa está correta):
Calcular :
Calcular
Calcular
:
As duas composições dão
, então
é realmente a inversa.
Passo 7
Interpretação e exemplo numérico rápido (modo amigo e leve):
- A função
desloca qualquer número para a direita em unidades (soma ). A inversa desloca para a esquerda em unidades (subtrai ). - Exemplo:
. Aplicando a inversa: . Beleza — o número voltou ao original.