Calcule a inversa das seguintes funções:
f(x)=x+2

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=x+2 e pede para calcular a inversa de f.
Informações relevantes que temos:
  • A regra da função é f(x)=x+2.
  • Não foi informado domínio explicitamente; vou assumir o domínio padrão \mathbb{R} (todos os reais), que é natural para essa função linear.
  • O pedido é: encontrar f^{-1}, a função que “desfaz” f.

Passo 2

O que significa “inversa” de uma função (explicação didática, passo a passo)?
  • Se f associa a cada x um número y por y=f(x), a inversa f^{-1} é a função que recebe y e retorna o x original. Ou seja, f^{-1}(y)=x quando y=f(x).
  • Formalmente, f^{-1} deve satisfazer, para todo x no domínio apropriado:
f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x \quad\text{e}\quad f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=x.
  • Método prático para encontrar a inversa: trocar f(x) por y, resolver a equação por x em função de y, e depois trocar y por x na expressão final para escrever a inversa como função de x.

Passo 3

Aplicando o método prático: escrevo a regra com y:
y = x + 2.
Agora isolo x em função de y. Subtraio 2 dos dois lados:
x = y - 2.
Esse x é justamente a expressão de x em termos de y que queremos.

Passo 4

Troco o papel das letras para escrever a inversa como função de x: substituir y por x na expressão obtida. Assim obtemos
f^{-1}(x)=x-2.
Explicando: quando a entrada é x, a inversa devolve x-2; isso “desfaz” a soma de 2 feita por f.

Passo 5

Domínio e imagem (por que isso funciona para todos os reais):
  • Para f(x)=x+2, qualquer x\in\mathbb{R} gera f(x)\in\mathbb{R}; a função é linear com coeficiente angular 1, portanto é injetora (não dá valores repetidos) e sobrejetora sobre \mathbb{R}. Logo f é bijetora \mathbb{R}\to\mathbb{R} e tem inversa definida em todo \mathbb{R}.
  • Consequentemente f^{-1} também tem domínio \mathbb{R} e imagem \mathbb{R}.

Passo 6

Verificação por composição (para ter certeza de que a inversa está correta):
Calcular f\bigl(f^{-1}(x)\bigr):
f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=f(x-2)=(x-2)+2=x.
Calcular f^{-1}\bigl(f(x)\bigr):
f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=f^{-1}(x+2)=(x+2)-2=x.
As duas composições dão x, então f^{-1}(x)=x-2 é realmente a inversa.

Passo 7

Interpretação e exemplo numérico rápido (modo amigo e leve):
  • A função f desloca qualquer número para a direita em 2 unidades (soma 2). A inversa desloca para a esquerda em 2 unidades (subtrai 2).
  • Exemplo: f(3)=5. Aplicando a inversa: f^{-1}(5)=5-2=3. Beleza — o número voltou ao original.

Resposta

f^{-1}(x)=x-2

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