Calcule a inversa das seguintes funções:
f(x)=\tan (x)

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=\tan(x)
e pede para calcular a inversa de f, isto é, encontrar f^{-1}. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função dada é f(x)=\tan(x).
  • A tarefa é determinar a função inversa f^{-1}.

Passo 2

O que significa “função inversa” e quando ela existe (explicação bem devagar).
  • Uma função g é a inversa de f se, para todo x em que isso fizer sentido,
f(g(x))=x\quad\text{e}\quad g(f(x))=x.
  • Para f ter inversa devemos ter que f seja injetora (um-para-um) no domínio que considerarmos. Se f não for injetora em todo o seu domínio, podemos tentar restringir o domínio para uma parte onde ela seja injetora e então definir a inversa ali.
  • Resumindo: primeiro verificamos se \tan(x) é injetora no domínio que escolhermos; se for, então existe uma inversa nessa restrição.

Passo 3

Propriedades básicas da função \tan(x) que vamos usar (passo a passo e com motivo).
  • Definição: \tan(x)=\dfrac{\sin x}{\cos x}.
  • Pontos de atenção: a tangente é periódica com período \pi: para todo x,
\tan(x+\pi)=\tan(x).
Isto significa que sem restringir o domínio a função não é injetora (vários x diferentes têm a mesma imagem).
  • Derivada: \dfrac{d}{dx}\tan(x)=\operatorname{sec}^2(x)=\dfrac{1}{\cos^2(x)}. Em intervalos onde \cos(x)\neq0, a derivada \operatorname{sec}^2(x) é positiva, logo \tan(x) é estritamente crescente nesses intervalos.
  • Em particular, no intervalo aberto
\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right)
a função \tan(x) é contínua, diferenciável e estritamente crescente, e não tem descontinuidades internas (os pontos \pm\tfrac{\pi}{2} são assíntotas verticais). Portanto, nessa restrição a função é injetora.

Passo 4

Escolhendo a restrição de domínio para obter uma inversa bem definida.
  • Porque a tangente é periódica, não existe inversa definida em todo o R sem restrição. A escolha padrão (e a mais utilizada) é restringir o domínio para
\mathcal{D}=\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right),
pois nesse intervalo \tan é estritamente crescente e atinge todos os valores reais. Assim \tan:\mathcal{D}\to\mathbb{R} é bijetora (sobrejetora em \mathbb{R} e injetora).
  • Com essa restrição, podemos definir uma inversa única chamada arco-tangente, escrita \arctan ou \tan^{-1}.

Passo 5

Derivação algébrica da inversa (mostrar a ideia de “inverter” a equação).
  • Começamos com a relação
y=\tan(x).
  • Para “desfazer” a tangente aplicamos a função arco-tangente a ambos os lados (é a operação inversa na restrição escolhida):
\arctan(y)=x.
  • Reescrevendo em termos da função inversa:
x=f^{-1}(y)=\arctan(y).
  • Se preferir trocar as letras (colocar a variável de entrada da inversa como x), obtemos a fórmula final
f^{-1}(x)=\arctan(x).

Passo 6

Observações sobre domínio e imagem da inversa e sobre múltiplas soluções (para não se confundir na prova).
  • A inversa principal \arctan tem domínio \mathbb{R} (porque \tan atinge todos os reais na restrição escolhida) e imagem (ou contradomínio usual) igual a
\operatorname{Im}(\arctan)=\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right).
  • Nota sobre as infinitas soluções: se não restringirmos o domínio, a equação y=\tan(x) tem soluções infinitas para x dada por
x=\arctan(y)+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Isso mostra por que é necessário escolher um ramo (normalmente o ramo principal \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right)) para definir uma inversa única.

Passo 7

Verificação rápida das composições (para checar que está tudo certo).
  • Para x\in\mathbb{R},
f(f^{-1}(x))=\tan(\arctan(x))=x.
  • Para x\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right),
f^{-1}(f(x))=\arctan(\tan(x))=x.
Essas igualdades confirmam que \arctan é a inversa de \tan na restrição indicada.

Resposta

f^{-1}(x)=\arctan(x),\quad \text{domínio}(f^{-1})=\mathbb{R},\quad \text{imagem}(f^{-1})=\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right)í

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