Calcule a inversa das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para calcular a inversa de
, isto é, encontrar
. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função dada é
. - A tarefa é determinar a função inversa
.
Passo 2
O que significa “função inversa” e quando ela existe (explicação bem devagar).
- Uma função
é a inversa de se, para todo em que isso fizer sentido,
- Para
ter inversa devemos ter que seja injetora (um-para-um) no domínio que considerarmos. Se não for injetora em todo o seu domínio, podemos tentar restringir o domínio para uma parte onde ela seja injetora e então definir a inversa ali. - Resumindo: primeiro verificamos se
é injetora no domínio que escolhermos; se for, então existe uma inversa nessa restrição.
Passo 3
Propriedades básicas da função
que vamos usar (passo a passo e com motivo).
- Definição:
. - Pontos de atenção: a tangente é periódica com período
: para todo ,
Isto significa que sem restringir o domínio a função não é injetora (vários
diferentes têm a mesma imagem).
- Derivada:
. Em intervalos onde , a derivada é positiva, logo é estritamente crescente nesses intervalos. - Em particular, no intervalo aberto
a função
é contínua, diferenciável e estritamente crescente, e não tem descontinuidades internas (os pontos
são assíntotas verticais). Portanto, nessa restrição a função é injetora.
Passo 4
Escolhendo a restrição de domínio para obter uma inversa bem definida.
- Porque a tangente é periódica, não existe inversa definida em todo o R sem restrição. A escolha padrão (e a mais utilizada) é restringir o domínio para
pois nesse intervalo
é estritamente crescente e atinge todos os valores reais. Assim
é bijetora (sobrejetora em
e injetora).
- Com essa restrição, podemos definir uma inversa única chamada arco-tangente, escrita
ou .
Passo 5
Derivação algébrica da inversa (mostrar a ideia de “inverter” a equação).
- Começamos com a relação
- Para “desfazer” a tangente aplicamos a função arco-tangente a ambos os lados (é a operação inversa na restrição escolhida):
- Reescrevendo em termos da função inversa:
- Se preferir trocar as letras (colocar a variável de entrada da inversa como
), obtemos a fórmula final
Passo 6
Observações sobre domínio e imagem da inversa e sobre múltiplas soluções (para não se confundir na prova).
- A inversa principal
tem domínio (porque atinge todos os reais na restrição escolhida) e imagem (ou contradomínio usual) igual a
- Nota sobre as infinitas soluções: se não restringirmos o domínio, a equação
tem soluções infinitas para dada por
Isso mostra por que é necessário escolher um ramo (normalmente o ramo principal
) para definir uma inversa única.
Passo 7
Verificação rápida das composições (para checar que está tudo certo).
- Para
,
- Para
,
Essas igualdades confirmam que
é a inversa de
na restrição indicada.