Calcule a inversa das seguintes funções:
f(x)=\sqrt{\log \left(x^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=\sqrt{\log\!\left(x^{2}\right)}.
O que o problema pede: encontrar a(s) função(ões) inversa(s) de f.
Informações relevantes dadas:
  • A função é f(x)=\sqrt{\log\!\left(x^{2}\right)}.
  • A notação \log será tratada como logaritmo natural ( \ln), que é a convenção mais comum em análise (se o seu professor usar outra base, a forma da inversa muda apenas por uma constante multiplicativa no expoente).
  • Para existir \log\!\left(x^{2}\right) e para o radical ser real, há restrições sobre x; essas restrições serão determinadas adiante.
  • O resultado deverá explicitar a(s) inversa(s) e o domínio apropriado de cada uma.

Passo 2

Determinar o domínio de f (passo obrigatório antes de inverter): a expressão \log\!\left(x^{2}\right) precisa ser definida e o valor dentro da raiz precisa ser não negativo.
  1. \log\!\left(x^{2}\right) está definida quando x^{2}>0, ou seja x\neq0.
  2. Como há \sqrt{\,\cdot\,}, é necessário \log\!\left(x^{2}\right)\ge0.
  3. \log\!\left(x^{2}\right)\ge0 equivale a x^{2}\ge1 (porque \ln(u)\ge0 \iff u\ge1 para u>0).
Portanto o domínio de f é
\{x\in\mathbb{R}\mid |x|\ge1\} = (-\infty,-1]\cup[1,\infty).

Passo 3

Simplificar a expressão para manipular melhor: usar a propriedade do logaritmo \log(a^{2})=2\log|a|. Aplicando-a aqui:
\log\!\left(x^{2}\right)=2\log|x|.
Logo podemos reescrever
f(x)=\sqrt{2\log|x|}.
Esta forma deixa claro que f(x) depende de |x|; por isso f(-x)=f(x) e a função não é injetora em todo o domínio unido.

Passo 4

Determinar a imagem (contradomínio efetivo) de f — isto vira o domínio das inversas. Como \sqrt{\cdot} produz valores não negativos e \log|x| varia de 0 (em |x|=1) até +\infty (quando |x|\to\infty), concluímos que a imagem de f é
[0,\infty).
Portanto qualquer inversa terá domínio [0,\infty).

Passo 5

Verificar injetividade para poder definir inversa(s): a função é par ( f(-x)=f(x)), ou seja não é injetora em todo o domínio. Contudo, se restringirmos f a cada uma das duas partes do domínio, obtemos funções monotônicas e, portanto, inversíveis:
  • Em [1,\infty): |x|=x, então f(x)=\sqrt{2\log x}. Aqui \log x é crescente em x e \sqrt{\cdot} também é crescente, logo f é crescente em [1,\infty) — assim invertível nessa parte.
  • Em (-\infty,-1]: |x|=-x. À medida que x aumenta (por exemplo de -3 para -2), |x| diminui, logo \log|x| diminui e f diminui; portanto f é estritamente decrescente em (-\infty,-1] — assim também invertível nessa parte.
Conclusão: haverá duas inversas (uma por ramo), ambas definidas em [0,\infty).

Passo 6

Calcular a inversa por manipulação algébrica (procedimento padrão: trocar x por y, resolver para x em função de y e depois trocar nomes conforme necessário).
Começar por escrever y=f(x):
y=\sqrt{\log\!\left(x^{2}\right)}.
Como a raiz quadrada principal produz y\ge0, vamos manter y\ge0.
Elevar ao quadrado ambos os lados (operação válida porque ambos os lados são não negativos):
y^{2}=\log\!\left(x^{2}\right).
Usar que \log\!\left(x^{2}\right)=2\log|x|:
y^{2}=2\log|x|.
Isolar o logaritmo:
\log|x|=\frac{y^{2}}{2}.
Agora aplicar a exponencial (função inversa do logaritmo): se \log|x|=A então |x|=e^{A}. Assim
|x|=e^{\,y^{2}/2}.
Finalmente, resolver para x dá duas possibilidades de sinal:
x=\pm e^{\,y^{2}/2}.

Passo 7

Relacionar os sinais com os ramos do domínio original:
  • Para o ramo x\in[1,\infty) (onde x é não negativo), a solução adequada é
x= e^{\,y^{2}/2}.
Portanto a inversa restrita a esse ramo é
f^{-1}_{+}(y)=e^{\,y^{2}/2},\qquad y\in[0,\infty).
  • Para o ramo x\in(-\infty,-1] (onde x é não positivo), a solução adequada é
x= -e^{\,y^{2}/2}.
Portanto a inversa restrita a esse ramo é
f^{-1}_{-}(y)=-e^{\,y^{2}/2},\qquad y\in[0,\infty).
Cada uma destas é a inversa de f quando f é vista apenas no ramo correspondente. Se for pedido um único f^{-1} usualmente escolhe-se a inversa sobre o ramo positivo [1,\infty), mas aqui é importante apontar as duas possibilidades.

Resposta

f^{-1}(y)=e^{\,y^{2}/2},\quad y\in[0,\infty)
f^{-1}(y)=-e^{\,y^{2}/2},\quad y\in[0,\infty)

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