Calcule a inversa das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que o problema pede: encontrar a(s) função(ões) inversa(s) de
.
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - A notação
será tratada como logaritmo natural ( ), que é a convenção mais comum em análise (se o seu professor usar outra base, a forma da inversa muda apenas por uma constante multiplicativa no expoente). - Para existir
e para o radical ser real, há restrições sobre ; essas restrições serão determinadas adiante. - O resultado deverá explicitar a(s) inversa(s) e o domínio apropriado de cada uma.
Passo 2
Determinar o domínio de
(passo obrigatório antes de inverter): a expressão
precisa ser definida e o valor dentro da raiz precisa ser não negativo.
-
está definida quando , ou seja . - Como há
, é necessário . -
equivale a (porque para ).
Portanto o domínio de
é
Passo 3
Simplificar a expressão para manipular melhor: usar a propriedade do logaritmo
. Aplicando-a aqui:
Logo podemos reescrever
Esta forma deixa claro que
depende de
; por isso
e a função não é injetora em todo o domínio unido.
Passo 4
Determinar a imagem (contradomínio efetivo) de
— isto vira o domínio das inversas. Como
produz valores não negativos e
varia de
(em
) até
(quando
), concluímos que a imagem de
é
Portanto qualquer inversa terá domínio
.
Passo 5
Verificar injetividade para poder definir inversa(s): a função é par (
), ou seja não é injetora em todo o domínio. Contudo, se restringirmos
a cada uma das duas partes do domínio, obtemos funções monotônicas e, portanto, inversíveis:
- Em
: , então . Aqui é crescente em e também é crescente, logo é crescente em — assim invertível nessa parte. - Em
: . À medida que aumenta (por exemplo de para ), diminui, logo diminui e diminui; portanto é estritamente decrescente em — assim também invertível nessa parte.
Conclusão: haverá duas inversas (uma por ramo), ambas definidas em
.
Passo 6
Calcular a inversa por manipulação algébrica (procedimento padrão: trocar
por
, resolver para
em função de
e depois trocar nomes conforme necessário).
Começar por escrever
:
Como a raiz quadrada principal produz
, vamos manter
.
Elevar ao quadrado ambos os lados (operação válida porque ambos os lados são não negativos):
Usar que
:
Isolar o logaritmo:
Agora aplicar a exponencial (função inversa do logaritmo): se
então
. Assim
Finalmente, resolver para
dá duas possibilidades de sinal:
Passo 7
Relacionar os sinais com os ramos do domínio original:
- Para o ramo
(onde é não negativo), a solução adequada é
Portanto a inversa restrita a esse ramo é
- Para o ramo
(onde é não positivo), a solução adequada é
Portanto a inversa restrita a esse ramo é
Cada uma destas é a inversa de
quando
é vista apenas no ramo correspondente. Se for pedido um único
usualmente escolhe-se a inversa sobre o ramo positivo
, mas aqui é importante apontar as duas possibilidades.