Mostre que se f(x)=\sqrt{16-x^{2}}, 0 \leq x \leq 4, então f^{-1}(x)=f(x).

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=\sqrt{16-x^{2}},\qquad 0\le x\le 4,
e pede para mostrar que f^{-1}(x)=f(x).
Informações relevantes dadas:
  • Domínio de f é [0,4].
  • A expressão de f usa a raiz quadrada principal, que sempre retorna um valor não negativo.
    O que se pede: provar que a função é a própria inversa, isto é, que a inversa de f é igual à função f (como fórmula).

Passo 2

Recordando a definição: uma função g é a inversa de f (escreve-se g=f^{-1}) quando, para todo x no domínio de f e todo y no domínio de g,
f(g(y))=y\quad\text{e}\quad g(f(x))=x.
Uma forma direta de mostrar que f é sua própria inversa é verificar que
f(f(x))=x\quad\text{para todo }x\in[0,4],
desde que f realmente mapeie [0,4] para [0,4] (ou seja, domínio e imagem coincidem como conjunto), o que garante que as composições estão bem definidas.

Passo 3

Primeiro vamos verificar a imagem de f. Calculando os extremos:
f(0)=\sqrt{16-0^{2}}=\sqrt{16}=4, \qquad f(4)=\sqrt{16-4^{2}}=\sqrt{0}=0.
Como a função x\mapsto\sqrt{16-x^{2}} é contínua em [0,4] e assume os valores 4 e 0 nos extremos, a imagem de f é o intervalo [0,4]. Portanto f de fato envia [0,4] em [0,4], e podemos compor f consigo mesma sem problemas.

Passo 4

Agora calculamos a composição f(f(x)) para x\in[0,4]. Usando a definição de f:
f(f(x))=\sqrt{16-\bigl(f(x)\bigr)^{2}} =\sqrt{16-\bigl(\sqrt{16-x^{2}}\bigr)^{2}}.
Dentro da raiz aparece \bigl(\sqrt{16-x^{2}}\bigr)^{2}=16-x^{2}. Assim
f(f(x))=\sqrt{16-(16-x^{2})}=\sqrt{x^{2}}.

Passo 5

Lembrando uma propriedade básica: \sqrt{x^{2}}=|x|. Como o domínio considerado é x\in[0,4], temos |x|=x para todos esses x. Portanto
f(f(x))=\sqrt{x^{2}}=|x|=x\quad\text{para todo }x\in[0,4].
Isto mostra que a composição f\circ f é a identidade em [0,4]. Como também vimos que a imagem de f é exatamente [0,4], concluímos que f é bijetora e que sua inversa existe e coincide com f (porque f\circ f=\text{id} implica f^{-1}=f).

Passo 6

Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia: tome x=3. Então
f(3)=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}, \qquad f(f(3))=\sqrt{16-(\sqrt{7})^{2}}=\sqrt{16-7}=\sqrt{9}=3,
confirmando a relação f(f(x))=x nesse caso concreto.

Resposta

f^{-1}(x)=\sqrt{16-x^{2}}

Exercícios relacionados