Mostre que se
, então
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para mostrar que
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- Domínio de
é . - A expressão de
usa a raiz quadrada principal, que sempre retorna um valor não negativo.
O que se pede: provar que a função é a própria inversa, isto é, que a inversa deé igual à função (como fórmula).
Passo 2
Recordando a definição: uma função
é a inversa de
(escreve-se
) quando, para todo
no domínio de
e todo
no domínio de
,
Uma forma direta de mostrar que
é sua própria inversa é verificar que
desde que
realmente mapeie
para
(ou seja, domínio e imagem coincidem como conjunto), o que garante que as composições estão bem definidas.
Passo 3
Primeiro vamos verificar a imagem de
. Calculando os extremos:
Como a função
é contínua em
e assume os valores
e
nos extremos, a imagem de
é o intervalo
. Portanto
de fato envia
em
, e podemos compor
consigo mesma sem problemas.
Passo 4
Agora calculamos a composição
para
. Usando a definição de
:
Dentro da raiz aparece
. Assim
Passo 5
Lembrando uma propriedade básica:
. Como o domínio considerado é
, temos
para todos esses
. Portanto
Isto mostra que a composição
é a identidade em
. Como também vimos que a imagem de
é exatamente
, concluímos que
é bijetora e que sua inversa existe e coincide com
(porque
implica
).
Passo 6
Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia: tome
. Então
confirmando a relação
nesse caso concreto.