Calcule o valor da constante k, de tal forma que a função definida por
f(x)=\frac{x+5}{x+k}
seja sua própria inversa.
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x+5}{x+k}
e pede para determinar o valor da constante k tal que f seja sua própria inversa. Em outras palavras, quer-se que f^{-1}=f.
Informações relevantes fornecidas:
A forma explícita de f(x) é \dfrac{x+5}{x+k}.
Deve-se evitar valores de x que anulem denominadores, ou seja, x\neq -k.
A pergunta é: encontrar o(s) valor(es) de k para os quais a função é igual à sua inversa.
Passo 2
O que significa ser a própria inversa? Vou explicar passo a passo, devagarinho. Uma função f é a sua própria inversa quando, para todo x no domínio apropriado, vale
f(f(x))=x.
Outra forma prática de testar isso é calcular a inversa f^{-1} da função e impor f^{-1}(x)=f(x) como identidades de função (ou seja, iguais para todos os x onde ambas estão definidas). Vou usar esse procedimento algébrico porque é direto para funções racionais como esta.
Passo 3
Primeiro, ache a inversa f^{-1} de maneira padrão. Para isso, escrevo y=f(x) e troco x por y e vice-versa, depois resolvo para y.
Começo com
y=\frac{x+5}{x+k}.
Agora troco x por y e y por x:
x=\frac{y+5}{y+k}.
A seguir resolvo essa equação para y em termos de x. Multiplico ambos os lados por y+k (lembre-se: isso pressupõe y\neq -k, condição de domínio):
x(y+k)=y+5.
Distribuindo à esquerda:
xy + xk = y + 5.
Agrupo os termos que têm y num lado:
xy - y = 5 - xk.
Fatorando y no lado esquerdo:
y(x-1)=5 - xk.
Desde que x\neq 1 (pois dividimos por x-1), obtemos
y=\frac{5 - xk}{x-1}.
Portanto a inversa é a função
f^{-1}(x)=\frac{5 - kx}{x-1},
definida onde x\neq 1 e x\neq -k conforme restrições transplantadas.
Passo 4
Agora imponho que f^{-1}(x) seja igual a f(x) como funções, isto é, que as expressões racionais coincidam para todos os x em que ambas estão definidas:
\frac{5 - kx}{x-1}=\frac{x+5}{x+k}.
Quando duas frações racionais são idênticas como funções (identidade em x), os polinômios do numerador e do denominador satisfazem a igualdade cruzada sempre que os denominadores não anulem. Então multiplico em cruz:
(5 - kx)(x+k)=(x+5)(x-1).
Passo 5
Vou expandir ambos os lados com cuidado (cada termo em TeX):
Expandindo o lado esquerdo:
(5 - kx)(x+k)=5x+5k - kx^2 - k^2 x.
Expandindo o lado direito:
(x+5)(x-1)=x^2 +4x -5.
Igualando os dois polinômios:
5x+5k - kx^2 - k^2 x = x^2 +4x -5.
Passo 6
Reescrevo tudo numa única expressão igual a zero, recolhendo termos semelhantes:
0 = x^2 +4x -5 - (5x+5k - kx^2 - k^2 x).
Calculando termo a termo:
0 = x^2 +4x -5 -5x -5k + kx^2 + k^2 x.
Agrupando por potências de x:
0 = (1+k)\,x^2 + (k^2-1)\,x + (-5-5k).
Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os x (identidade polinomial), cada coeficiente deve ser zero. Assim obtemos o sistema:
que coincide com f(x) (nas x onde ambas estão definidas). Também f(f(x))=x para todo x\neq 1 e x\neq possíveis imagens que anulem denominadores — em resumo, como funções com seus domínios naturais, f é de fato sua própria inversa quando k=-1.