Calcule os itens abaixo:
\cos \left(210^{\circ}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \cos\left(210^{\circ}\right).
Informações dadas:
  • O ângulo é \;210^{\circ}.

Passo 2

Entender o que é o cosseno geometricamente: em um círculo trigonométrico (raio 1), o cosseno de um ângulo mede a coordenada x do ponto na circunferência correspondente a esse ângulo. Assim, o sinal do cosseno depende do quadrante em que o ângulo está:
  • 1.º quadrante ( 0^{\circ} a 90^{\circ}): \cos>0.
  • 2.º quadrante ( 90^{\circ} a 180^{\circ}): \cos<0.
  • 3.º quadrante ( 180^{\circ} a 270^{\circ}): \cos<0.
  • 4.º quadrante ( 270^{\circ} a 360^{\circ}): \cos>0.
Agora identificar o quadrante de \;210^{\circ}: como 180^{\circ}<210^{\circ}<270^{\circ}, o ângulo está no 3.º quadrante. Portanto, o cosseno de \;210^{\circ} é negativo.

Passo 3

Encontrar o ângulo de referência (referência trigonométrica): é o menor ângulo formado entre a reta que define \;210^{\circ} e o eixo x negativo. Para ângulos no 3.º quadrante, a referência é
\text{referência} = 210^{\circ}-180^{\circ}=30^{\circ}.ê
Isso significa que o valor absoluto de \cos\left(210^{\circ}\right) é o mesmo de \cos\left(30^{\circ}\right), mas com sinal negativo (já notado no passo anterior).

Passo 4

Calcular \cos\left(30^{\circ}\right) (a parte técnica mais importante para transformar em \cos\left(210^{\circ}\right)).
Uma maneira clássica: considere um triângulo equilátero de lado 1. Ao cortá-lo ao meio, obtém-se um triângulo retângulo com hipotenusa 1, cateto oposto a 30^{\circ} igual a \dfrac{1}{2} e cateto adjacente a 30^{\circ} igual a \dfrac{\sqrt{3}}{2}. Logo,
\cos\left(30^{\circ}\right)=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{\sqrt{3}/2}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Usar a identidade de soma para ângulos para justificar a troca de sinal:
\cos\left(180^{\circ}+\theta\right)=\cos 180^{\circ}\cos\theta-\sin 180^{\circ}\sin\theta=(-1)\cos\theta-0=-\cos\theta.
Aplicando com \theta=30^{\circ} obtemos
\cos\left(210^{\circ}\right)=\cos\left(180^{\circ}+30^{\circ}\right)=-\cos\left(30^{\circ}\right).
Com o valor de \cos\left(30^{\circ}\right) do passo anterior, conclui-se o resultado numérico.

Resposta

-\dfrac{\sqrt{3}}{2}

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