Calcule os itens abaixo:
\operatorname{sen}\left(\frac{10 \pi}{3}\right)

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Está dado o valor do ângulo \dfrac{10\pi}{3}.
  • O que se pede é calcular \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{10\pi}{3}\right).

Passo 2

Ideia principal que vamos usar (sem resolver ainda):
  • A função seno é periódica com período 2\pi, ou seja,
\operatorname{sen}(x+2\pi)=\operatorname{sen}(x)
para todo x. Isso permite reduzir ângulos grandes somando ou subtraindo múltiplos inteiros de 2\pi até obter um ângulo equivalente em um intervalo padrão, por exemplo [0,2\pi) ou (-\pi,\pi].

Passo 3

Reduzir o ângulo \dfrac{10\pi}{3} usando a periodicidade de 2\pi:
\dfrac{10\pi}{3}-2\pi=\dfrac{10\pi}{3}-\dfrac{6\pi}{3}=\dfrac{4\pi}{3}.
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\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{10\pi}{3}\right)=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{4\pi}{3}\right).

Passo 4

Determinar em qual quadrante fica \dfrac{4\pi}{3} e o sinal do seno:
  • Sabendo que \pi=\dfrac{3\pi}{3} e \tfrac{3\pi}{2}=\dfrac{9\pi}{6}=\dfrac{3\pi}{2} (apenas referência), numericamente \dfrac{4\pi}{3} está entre \pi e \tfrac{3\pi}{2}, isto é, no terceiro quadrante.
  • No terceiro quadrante o seno é negativo.

Passo 5

Achar o ângulo de referência (referência ao eixo x) e o valor do seno desse ângulo:
  • O ângulo de referência para \dfrac{4\pi}{3} é
\dfrac{4\pi}{3}-\pi=\dfrac{4\pi}{3}-\dfrac{3\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}.
  • O valor conhecido de \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) é \dfrac{\sqrt{3}}{2}. (Rápida lembrança: esse valor vem do triângulo 30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ, onde o seno de 60^\circ ou \dfrac{\pi}{3} é \dfrac{\sqrt{3}}{2}.)

Passo 6

Juntar o sinal (negativo no terceiro quadrante) com o valor do seno do ângulo de referência:
\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)=-\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto
\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{10\pi}{3}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 7

Checagem alternativa curta (opcional, para confiança): subtrair 4\pi em vez de 2\pi:
\dfrac{10\pi}{3}-4\pi=\dfrac{10\pi}{3}-\dfrac{12\pi}{3}=-\dfrac{2\pi}{3},
e \operatorname{sen}\!\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}, consistente com o resultado acima.

Resposta

-\dfrac{\sqrt{3}}{2}

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