Calcule os itens abaixo:
\operatorname{sen}\left(3000^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de \operatorname{sen}\left(3000^{\circ}\right). A informação dada é apenas o ângulo em graus: 3000^\circ. Não há outras condições.

Passo 2

Usamos a periodicidade da função seno: para todo inteiro k vale
\sin\big(\theta + 360^\circ k\big)=\sin\theta.
Isso significa que podemos subtrair (ou somar) múltiplos de 360^\circ sem mudar o valor do seno. Vamos reduzir 3000^\circ a um ângulo coterminal entre 0^\circ e 360^\circ.
Calculemos quantas voltas de 360^\circ cabem em 3000^\circ:
360^\circ\times 8 = 2880^\circ,
então
3000^\circ = 2880^\circ + 120^\circ.
Portanto
\sin\big(3000^\circ\big)=\sin\big(120^\circ\big).

Passo 3

Agora analisamos \sin\big(120^\circ\big). O ângulo 120^\circ está no segundo quadrante (entre 90^\circ e 180^\circ). No segundo quadrante o seno é positivo. O ângulo de referência (referência ao eixo horizontal) para um ângulo \theta no segundo quadrante é
\text{ângulo de referência} = 180^\circ-\theta.âê
Para \theta=120^\circ temos referência
180^\circ-120^\circ=60^\circ.
E a identidade trigonométrica útil é
\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha.
Aplicando com \alpha=60^\circ,
\sin\big(120^\circ\big)=\sin\big(60^\circ\big).

Passo 4

Agora precisamos do valor de \sin\big(60^\circ\big). Esse é um dos ângulos notáveis. Uma maneira clássica de obter o valor é considerar um triângulo equilátero de lado 2; ao traçar a altura obtém-se dois triângulos retângulos com hipotenusa 2, cateto adjacente 1 e altura (cateto oposto a 60^\circ) igual a \sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}. Assim
\sin\big(60^\circ\big)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Juntando os passos:
\sin\big(3000^\circ\big)=\sin\big(120^\circ\big)=\sin\big(60^\circ\big)=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Resposta

\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Exercícios relacionados