Em que quadrante se tem simultaneamente
\cos \theta>0 e \tan \theta>0

Passo 1

O enunciado pede: em que quadrante do círculo trigonométrico temos simultaneamente \cos\theta>0 e \tan\theta>0?
Informações dadas: \cos\theta>0 e \tan\theta>0. A pergunta é identificar o(s) quadrante(s) onde ambas as desigualdades são verdadeiras ao mesmo tempo.

Passo 2

Lembrete geométrico básico (unit circle): um ângulo \theta corresponde a um ponto na circunferência unitária com coordenadas (\cos\theta,\sin\theta). Os sinais de \sin\theta e \cos\theta nos quadrantes são:
  • Quadrante I: \sin\theta>0, \cos\theta>0.
  • Quadrante II: \sin\theta>0, \cos\theta<0.
  • Quadrante III: \sin\theta<0, \cos\theta<0.
  • Quadrante IV: \sin\theta<0, \cos\theta>0.

Passo 3

Relação entre tangente, seno e cosseno: por definição
\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta},
desde que \cos\theta\neq0. Assim, o sinal de \tan\theta é positivo quando \sin\theta e \cos\theta têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos), e é negativo quando têm sinais opostos.

Passo 4

Combine as condições: temos \cos\theta>0 e \tan\theta>0. Pelo passo anterior, \tan\theta>0 implica que \sin\theta e \cos\theta têm o mesmo sinal. Como \cos\theta>0, isso força \sin\theta>0. Logo precisamos do quadrante em que \sin\theta>0 e \cos\theta>0 simultaneamente — isto é precisamente o quadrante I.
Exemplo numérico rápido para fixar: \theta=\pi/6 (30°) está no quadrante I; \cos(\pi/6)=\sqrt{3}/2>0 e \tan(\pi/6)=1/\sqrt{3}>0, confirma.

Passo 5

Portanto, a única região do círculo trigonométrico onde \cos\theta>0 e \tan\theta>0 ocorrem ao mesmo tempo é o primeiro quadrante.

Resposta

Quadrante I

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