Calcule os itens abaixo:
\operatorname{sen}\left(\operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \operatorname{sen}\!\left(\operatorname{arctg}\!\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\right).\n
Informações dadas:
  • O argumento interno é \operatorname{arctg}\!\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right).
  • Pela definição da função \operatorname{arctg} (arctangente), se \theta = \operatorname{arctg}(a) então \tan\theta = a e \theta pertence ao intervalo principal \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).

Passo 2

Ideia prática para resolver (fórmula útil e como obtê-la): suponha \theta=\operatorname{arctg}(a). Então \tan\theta=a. Podemos representar isso num triângulo retângulo tomando cateto oposto igual a a e cateto adjacente igual a 1; a hipotenusa será \sqrt{1+a^{2}} (porque hipotenusa é \sqrt{(\text{oposto})^{2}+(\text{adjacente})^{2}}). Assim,
\sin\theta=\frac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{a}{\sqrt{1+a^{2}}}.
Esta fórmula vale para \theta no intervalo \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right), onde o cosseno é positivo e o sinal de \sin\theta acompanha o sinal de a.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: seja a=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}. Primeiro calcule 1+a^{2}:
a^{2}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{2}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3},
1+a^{2}=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}.
A raiz é
\sqrt{1+a^{2}}=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Agora calcule \sin\theta com a=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}:
\sin\theta=\frac{a}{\sqrt{1+a^{2}}}=\frac{-\dfrac{\sqrt{3}}{3}}{\dfrac{2}{\sqrt{3}}}.
Simplificando passo a passo:
\frac{-\dfrac{\sqrt{3}}{3}}{\dfrac{2}{\sqrt{3}}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}.

Passo 5

Verificação alternativa (reconhecimento de ângulo): \tan\theta=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Como \tan\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, pelo intervalo principal temos \theta=-\tfrac{\pi}{6}. E \sin\!\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)=-\tfrac{1}{2}, concordando com o cálculo acima. Vai dar certo na prova assim — duas maneiras de checar.

Resposta

-\dfrac{1}{2}

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