Sejam e definidas em e tais que e para todo . Suponha quee . Prove que existe , tal que para todo
Conclua daí que se , então .
Passo 1
O enunciado diz que e estão definidas em , com e para todo , e que
onde .
Queremos, primeiro, mostrar que existe tal que, para todo ,
Depois, usaremos essa desigualdade junto com o fato de para concluir que . Para isso, vamos aplicar a definição de limite de uma função no infinito (com apropriado) à função .
Passo 2
Pela definição de limite, como
então para qualquer existe tal que, para todo ,
Escolhemos varepsilon=L2 (note que L>0, então esse varepsilon é válido). Assim, existe r>a tal que, para todo x>r,
|f(x)g(x)-L|<L2
Passo 3
Desenvolvendo a desigualdade obtida:
-L2<f(x)g(x)-L<L2
o que equivale a
L-L2<f(x)g(x)<L+L2,
ou seja,
L2<f(x)g(x)<3L2
Como g(x)>0, podemos multiplicar todos os termos por g(x) sem inverter sinais, obtendo
L2,g(x)<f(x)<3L2,g(x),
válido para todo x>r.
Passo 4
Agora suponha que limxto+inftyg(x)=0. Então, para x>r temos
0 <= f(x)<= 3L2,g(x)
Como g(x)to0, o produto 3L2,g(x) também tende a 0. Pelo Teorema do Aperto (ou “teorema do sanduíche”), segue que