1. Sejam f e g definidas em [a,+infty[ e tais que f(x) >= 0 e g(x)>0 para todo x >= a. Suponha quee lim x +infty f(x)g(x)=L, L>0. Prove que existe r>0, r>a, tal que para todo x>r
L2 g(x)<f(x)<3 L2 g(x)
Conclua daí que se lim x +infty g(x)=0, então lim x +infty f(x)=0.

Passo 1

O enunciado diz que f e g estão definidas em [a,+infty[, com f(x)>=0 e g(x)>0 para todo x>= a, e que
limxto+inftyf(x)g(x)=L,
onde L>0.
Queremos, primeiro, mostrar que existe r>a tal que, para todo x>r,
L2,g(x)<f(x)<3L2,g(x)
Depois, usaremos essa desigualdade junto com o fato de limxto+inftyg(x)=0 para concluir que limxto+inftyf(x)=0. Para isso, vamos aplicar a definição de limite de uma função no infinito (com varepsilon apropriado) à função f(x)/g(x).

Passo 2

Pela definição de limite, como
limxto+inftyf(x)g(x)=L,
então para qualquer varepsilon>0 existe r>a tal que, para todo x>r,
|f(x)g(x)-L|<varepsilon
Escolhemos varepsilon=L2 (note que L>0, então esse varepsilon é válido). Assim, existe r>a tal que, para todo x>r,
|f(x)g(x)-L|<L2

Passo 3

Desenvolvendo a desigualdade obtida:
-L2<f(x)g(x)-L<L2
o que equivale a
L-L2<f(x)g(x)<L+L2,
ou seja,
L2<f(x)g(x)<3L2
Como g(x)>0, podemos multiplicar todos os termos por g(x) sem inverter sinais, obtendo
L2,g(x)<f(x)<3L2,g(x),
válido para todo x>r.

Passo 4

Agora suponha que limxto+inftyg(x)=0. Então, para x>r temos
0 <= f(x)<= 3L2,g(x)
Como g(x)to0, o produto 3L2,g(x) também tende a 0. Pelo Teorema do Aperto (ou “teorema do sanduíche”), segue que
limxto+inftyf(x)=0

Resposta

Se limxto+inftyg(x)=0, então limxto+inftyf(x)=0.

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