Nos exercícios 13-16, encontre e esboce as curvas de nível f(x, y)=c no mesmo conjunto de eixos de coordenadas para os valores determinados de c.
f(x, y)=raiz25-x^2-y^2, c=0,1,2,3,4

Passo 1

O enunciado pede as curvas de nível de
f(x,y)=raiz25 - x^2 - y^2
para c=0,1,2,3,4. O conteúdo é curvas de nível de uma superfície dada por uma raiz quadrada, e vamos usar álgebra para isolar x e y.

Passo 2

Impondo
raiz25 - x^2 - y^2 = c
e elevando ao quadrado, obtemos
25 - x^2 - y^2 = c^2 Longrightarrow x^2 + y^2 = 25 - c^2
Logo, cada curva de nível é um círculo centrado na origem com raio
r(c) = raiz25 - c^2,
válido desde que 0 <= c <= 5.

Passo 3

Para os valores dados de c, calculamos os raios:
c=0&;Longrightarrow;r(0)=raiz25-0^2=5, c=1&;Longrightarrow;r(1)=raiz25-1^2=raiz24=2raiz6, c=2&;Longrightarrow;r(2)=raiz25-2^2=raiz21, c=3&;Longrightarrow;r(3)=raiz25-3^2=4, c=4&;Longrightarrow;r(4)=raiz25-4^2=3

Passo 4

No mesmo sistema de eixos xy, desenhe círculos concêntricos de raios 5, 2raiz6, raiz21, 4 e 3. À medida que c cresce, o círculo encolhe, pois o nível de altura da superfície ocorre mais próximo do eixo vertical.

Resposta

As curvas de nível são os círculos
x^2+y^2=25-c^2,
com raios
r(0)=5, r(1)=2raiz6, r(2)=raiz21, r(3)=4, r(4)=3

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