Valor: 3 pontos: Esboçar o sólido cujo volume é dado pela integral
e calcular tal volume.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar (esboçar) um sólido cujo volume é definido pela integral
e também calcular esse volume. Isso está ligado ao conteúdo de cálculo integral em coordenadas esféricas, que usamos para encontrar volumes de formas mais complicadas. Para resolver, vamos precisar entender as coordenadas esféricas e como aplicar a integral tripla nesse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada variável representa nas coordenadas esféricas:
-
é a distância do ponto ao centro (a origem). -
é o ângulo polar, medindo a inclinação a partir do eixo z. -
é o ângulo azimutal, medindo a rotação em torno do eixo z.
A função integranda
faz parte do elemento de volume em coordenadas esféricas, que é
. No nosso caso, a integral dada já está ajustada para calcular o volume.
Passo 3
Agora, vamos analisar os limites de integração:
-
varia de a , então estamos limitando a rotação em torno do eixo z a um ângulo de 30 graus. -
vai de a , o que significa que estamos considerando pontos do polo norte até o equador. -
varia de a , mas aqui parece haver um pequeno equívoco: geralmente, varia até um valor constante ou função de e . Vamos assumir que aqui se refere a uma função específica relacionada às outras variáveis.
Passo 4
Vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 5
Em seguida, integramos em relação a
:
Passo 6
Por último, integramos em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
.