Valor: 3 pontos: Esboçar o sólido cujo volume é dado pela integral integral0^pi / 6 integral0^pi / 2 integral0^z rho sen(phi) d rho d phi d theta e calcular tal volume.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar (esboçar) um sólido cujo volume é definido pela integral integral0^pi / 6 integral0^pi / 2 integral0^z rho sin(phi) d rho d phi d theta e também calcular esse volume. Isso está ligado ao conteúdo de cálculo integral em coordenadas esféricas, que usamos para encontrar volumes de formas mais complicadas. Para resolver, vamos precisar entender as coordenadas esféricas e como aplicar a integral tripla nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada variável representa nas coordenadas esféricas:
  • rho é a distância do ponto ao centro (a origem).
  • phi é o ângulo polar, medindo a inclinação a partir do eixo z.
  • theta é o ângulo azimutal, medindo a rotação em torno do eixo z.
A função integranda rho sin(phi) faz parte do elemento de volume em coordenadas esféricas, que é dV = rho^2 sin(phi) drho dphi dtheta. No nosso caso, a integral dada já está ajustada para calcular o volume.

Passo 3

Agora, vamos analisar os limites de integração:
  • theta varia de 0 a pi/6, então estamos limitando a rotação em torno do eixo z a um ângulo de 30 graus.
  • phi vai de 0 a pi/2, o que significa que estamos considerando pontos do polo norte até o equador.
  • rho varia de 0 a z, mas aqui parece haver um pequeno equívoco: geralmente, rho varia até um valor constante ou função de phi e theta. Vamos assumir que z aqui se refere a uma função específica relacionada às outras variáveis.

Passo 4

Vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a rho:
integral0^z rho sin(phi) drho = sin(phi) [ rho^22 ]0^z = sin(phi) cdot z^22

Passo 5

Em seguida, integramos em relação a phi:
integral0^pi/2 z^22 sin(phi) dphi = z^22 [ -cos(phi) ]0^pi/2 = z^22 ( -0 + 1 ) = z^22

Passo 6

Por último, integramos em relação a theta:
integral0^pi/6 z^22 dtheta = z^22 cdot [ theta ]0^pi/6 = z^22 cdot pi6 = pi z^212

Resposta

O volume do sólido é pi z^212.

Exercícios relacionados