Calcule, justificando cada passagem:
.
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse problema está relacionado ao estudo de limites em cálculo, onde vamos analisar o comportamento da função
conforme
se aproxima de 0 pelo lado positivo. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções polinomiais e logarítmicas se comportam próximo a 0 e como combiná-las para encontrar o limite.
Passo 2
Primeiro, observe que quando
se aproxima de 0 pelo lado positivo,
tende a 0. Já a função
, conforme
se aproxima de 0 pelo lado positivo, tende a
. Então, temos um caso do tipo “0 \cdot (-\infty)”, que é uma forma indeterminada. Para resolver esse tipo de limite, podemos reescrever a expressão de uma forma que permita a aplicação da regra de L’Hôpital.
Passo 3
Vamos reescrever o limite de
como uma fração, pois a regra de L’Hôpital é aplicável a formas do tipo “0/0” ou “
”. Podemos fazer isso da seguinte maneira:
Agora, temos uma forma do tipo
, que ainda é uma forma indeterminada adequada para aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 4
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital, que nos diz que se temos um limite na forma
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente. Vamos derivar
e
:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Passo 5
Substituímos as derivadas no limite:
Passo 6
Agora, simplificamos a expressão:
Sabemos que
, então:
Resposta
O limite
.