Calcule, justificando cada passagem:
lim x 0^+ x^3 ln (x).

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 0^+ x^3 ln (x). Esse problema está relacionado ao estudo de limites em cálculo, onde vamos analisar o comportamento da função x^3 ln(x) conforme x se aproxima de 0 pelo lado positivo. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções polinomiais e logarítmicas se comportam próximo a 0 e como combiná-las para encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, observe que quando x se aproxima de 0 pelo lado positivo, x^3 tende a 0. Já a função ln(x), conforme x se aproxima de 0 pelo lado positivo, tende a -infty. Então, temos um caso do tipo “0 \cdot (-\infty)”, que é uma forma indeterminada. Para resolver esse tipo de limite, podemos reescrever a expressão de uma forma que permita a aplicação da regra de L’Hôpital.

Passo 3

Vamos reescrever o limite de x^3 ln(x) como uma fração, pois a regra de L’Hôpital é aplicável a formas do tipo “0/0” ou “ infty/infty”. Podemos fazer isso da seguinte maneira:
limx to 0^+ x^3 ln(x) = limx to 0^+ ln(x)x^-3
Agora, temos uma forma do tipo (-infty)/infty, que ainda é uma forma indeterminada adequada para aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 4

Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital, que nos diz que se temos um limite na forma 0/0 ou infty/infty, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente. Vamos derivar ln(x) e x^-3:
Derivada do numerador:
ddx ln(x) = 1x
Derivada do denominador:
ddx x^-3 = -3x^-4

Passo 5

Substituímos as derivadas no limite:
limx to 0^+ 1x-3x^-4 = limx to 0^+ 1x cdot x^4-3 = limx to 0^+ x^3-3

Passo 6

Agora, simplificamos a expressão:
limx to 0^+ x^3-3 = 1-3 limx to 0^+ x^3
Sabemos que limx to 0^+ x^3 = 0, então:
1-3 cdot 0 = 0

Resposta

O limite lim x 0^+ x^3 ln (x) = 0.

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