Classifique a afirmação em verdadeira ou falsa:
O teorema de Fubini garante que se
é uma função contínua em
O teorema de Fubini garante que se
Passo 1
O enunciado pede para classificar como verdadeira ou falsa a seguinte afirmação sobre o teorema de Fubini: “Se
é contínua em
, então
O conteúdo é cálculo de integrais múltiplas e o que vamos usar é exatamente o enunciado do teorema de Fubini para retângulos e funções contínuas.
Passo 2
O teorema de Fubini afirma que, se
é integrável em um retângulo
e se uma das iteradas
ou
existe como número finito, então a integral dupla existe e coincide com essas iteradas.
existe como número finito, então a integral dupla existe e coincide com essas iteradas.
Passo 3
Uma condição suficiente simples para aplicar o teorema de Fubini é que
seja contínua em todo o retângulo. Nesse caso,
é integrável em
e ambas as integrais iteradas existem e são iguais entre si e à integral dupla.
Passo 4
Como a hipótese do enunciado assume exatamente que
é contínua em
, todas as condições do teorema de Fubini estão satisfeitas, garantindo a igualdade das três expressões.
Resposta
Verdadeira.