Classifique a afirmação em verdadeira ou falsa:
O teorema de Fubini garante que se f é uma função contínua em
[a, b] times[c, d] então integral dupla f(x, y)=integralc^d integrala^b f(x, y) d x d y=integrala^b integralc^d f(x, y) d y d x ã

Passo 1

O enunciado pede para classificar como verdadeira ou falsa a seguinte afirmação sobre o teorema de Fubini: “Se f é contínua em [a,b]times[c,d], então
integral dupla[a,b]times[c,d] f(x,y);dA = integralc^d!integrala^b f(x,y),dx,dy = integrala^b!integralc^d f(x,y),dy,dx
O conteúdo é cálculo de integrais múltiplas e o que vamos usar é exatamente o enunciado do teorema de Fubini para retângulos e funções contínuas.

Passo 2

O teorema de Fubini afirma que, se f é integrável em um retângulo R=[a,b]times[c,d] e se uma das iteradas
integralc^d!integrala^b f(x,y),dx,dy ou integrala^b!integralc^d f(x,y),dy,dx
existe como número finito, então a integral dupla existe e coincide com essas iteradas.

Passo 3

Uma condição suficiente simples para aplicar o teorema de Fubini é que f seja contínua em todo o retângulo. Nesse caso, f é integrável em R e ambas as integrais iteradas existem e são iguais entre si e à integral dupla.

Passo 4

Como a hipótese do enunciado assume exatamente que f é contínua em [a,b]times[c,d], todas as condições do teorema de Fubini estão satisfeitas, garantindo a igualdade das três expressões.

Resposta

Verdadeira.

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