Calcule os seguintes limites:
lim x 0 cos 3 xx

Passo 1

O enunciado pede o limite limxto0cos3xx. O conteúdo é cálculo de limite e vamos precisar estudar o comportamento do numerador e do denominador separadamente para ver se há indeterminação ou divergência.

Passo 2

Primeiro, avaliamos separadamente: limxto0cos3x=cos0=1 e limxto0x=0. Como o numerador tende a 1 (não zero) e o denominador tende a 0, a forma é 10, o que indica divergência infinita.

Passo 3

Para detalhar a divergência, usamos o desenvolvimento de Taylor de cos3x em torno de 0:
cos3x = 1 - (3x)^22 + o(x^2)
Dividindo por x:
cos3xx = 1 - tfrac9x^22 + o(x^2)x = 1x - 9x2 + o(x)

Passo 4

O termo dominante é 1/x. Quando xto0^+, 1/xto+infty; quando xto0^-, 1/xto-infty. Os demais termos ( -9x/2+o(x)) vão a zero e não mudam o comportamento principal.

Passo 5

Portanto, o limite diverge: não existe limite finito. Em termos de limites laterais,
limxto0^+cos3xx=+infty e limxto0^-cos3xx=-infty.

Resposta

O limite não existe como número real: diverge para +∞ à direita e para -∞ à esquerda.

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