Calcule, justificando, o limite das seguintes sequências:
a_{n}=\frac{1}{3^{n}}\left(\frac{6 n-1}{2 n+5}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede o limite, quando n\to\infty, da sequência
a_{n} = \frac{1}{3^{n}}\Bigl(\frac{6n-1}{2n+5}\Bigr)^{n}.
O conteúdo envolvido é limite de sequência do tipo “base elevada a n”, e vamos usar o truque de trabalhar com o logaritmo e depois aplicar expansão em série para grandes n.

Passo 2

Começamos calculando o logaritmo natural de a_n:
\ln a_{n} = \ln\Bigl(\frac{1}{3^{n}}\Bigr) + \ln\Bigl(\frac{6n-1}{2n+5}\Bigr)^{n} = -n\ln 3 + n\,\ln\frac{6n-1}{2n+5}.

Passo 3

Agora expandimos para n grande a parte
\ln\frac{6n-1}{2n+5}. Note que
\ln(6n-1)=\ln(6n)+\ln\Bigl(1-\frac{1}{6n}\Bigr) =\ln6+\ln n-\frac{1}{6n}+o\Bigl(\frac{1}{n}\Bigr),
\ln(2n+5)=\ln(2n)+\ln\Bigl(1+\frac{5}{2n}\Bigr) =\ln2+\ln n+\frac{5}{2n}+o\Bigl(\frac{1}{n}\Bigr).
Subtraindo,
\ln\frac{6n-1}{2n+5} =(\ln6-\ln2)+\bigl(-\tfrac{1}{6n}-\tfrac{5}{2n}\bigr)+o\Bigl(\tfrac{1}{n}\Bigr) =\ln3-\frac{1+15}{6n}+o\Bigl(\tfrac{1}{n}\Bigr) =\ln3-\frac{8}{3n}+o\Bigl(\tfrac{1}{n}\Bigr).

Passo 4

Substituindo essa expansão em \ln a_n:
\ln a_{n} = -n\ln3 + n\Bigl(\ln3-\tfrac{8}{3n}+o(\tfrac{1}{n})\Bigr) = -\frac{8}{3} + o(1).
Como o(1)\to0, temos
\lim_{n\to\infty}\ln a_{n} = -\tfrac{8}{3}.

Passo 5

Para voltar ao valor de a_n, exponenciamos:
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\exp\Bigl(\lim_{n\to\infty}\ln a_{n}\Bigr) =\exp\Bigl(-\tfrac{8}{3}\Bigr).

Resposta

\lim_{n\to\infty}a_{n}=e^{-\frac{8}{3}}.

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