Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente:
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
, com
.
O conteúdo é limites de sequência que misturam crescimento polinomial e exponencial. Para decidir convergência vamos usar o teste da razão e a comparação entre termo polinomial e termo exponencial.
O conteúdo é limites de sequência que misturam crescimento polinomial e exponencial. Para decidir convergência vamos usar o teste da razão e a comparação entre termo polinomial e termo exponencial.
Passo 2
Considere
.
Aplicando o teste da razão em módulo, temos
Aplicando o teste da razão em módulo, temos
Como
, o limite da razão é
, o que implica convergência absoluta a zero. Logo
Passo 3
Considere
.
Neste caso a razão , de modo que
. Assim a sequência diverge em módulo.
Neste caso a razão
- Se
, então . - Se
, então com sinal alternado, sem limite.
Passo 4
Para
temos
que cresce sem bound, logo diverge para
.
Passo 5
Para
temos
cujo módulo cresce para
e o sinal alterna, portanto não converge.
Resposta
A sequência
converge se, e somente se,
, e nesse caso
Para
a sequência diverge.