Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente:
a_{n}=n(\alpha)^{n}, \quad \alpha \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_{n} = n\,\alpha^{n}, com \alpha\in\mathbb{R}.
O conteúdo é limites de sequência que misturam crescimento polinomial e exponencial. Para decidir convergência vamos usar o teste da razão e a comparação entre termo polinomial e termo exponencial.

Passo 2

Considere \lvert\alpha\rvert<1.
Aplicando o teste da razão em módulo, temos
\frac{\lvert a_{n+1}\rvert}{\lvert a_{n}\rvert} =\frac{(n+1)\,\lvert\alpha\rvert^{\,n+1}}{n\,\lvert\alpha\rvert^{\,n}} =\frac{n+1}{n}\,\lvert\alpha\rvert.
Como \frac{n+1}{n}\to1, o limite da razão é \lvert\alpha\rvert<1, o que implica convergência absoluta a zero. Logo
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

Passo 3

Considere \lvert\alpha\rvert>1.
Neste caso a razão \frac{\lvert a_{n+1}\rvert}{\lvert a_{n}\rvert}\to\lvert\alpha\rvert>1, de modo que \lvert a_{n}\rvert\to+\infty. Assim a sequência diverge em módulo.
  • Se \alpha>1, então a_{n}\to+\infty.
  • Se \alpha<-1, então \lvert a_{n}\rvert\to+\infty com sinal alternado, sem limite.

Passo 4

Para \alpha=1 temos
a_{n}=n\cdot1^{n}=n,
que cresce sem bound, logo diverge para +\infty.

Passo 5

Para \alpha=-1 temos
a_{n}=n\,(-1)^{n},
cujo módulo cresce para +\infty e o sinal alterna, portanto não converge.

Resposta

A sequência a_{n}=n\,\alpha^{n} converge se, e somente se, \lvert\alpha\rvert<1, e nesse caso
\lim_{n\to\infty}n\,\alpha^{n}=0.
Para \lvert\alpha\rvert\ge1 a sequência diverge.

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