Calcule, justificando, o limite das seguintes sequências:
a_{n}=\sqrt{n-\sqrt{n}}-\sqrt{n}

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
a_{n} = \sqrt{n - \sqrt{n}} \;-\;\sqrt{n}
à medida que n\to\infty. O conteúdo utilizado aqui é limite de sequências e manipulação algébrica (racionalização de diferença de raízes).

Passo 2

Para eliminar a indeterminação na forma “ \infty-\infty”, racionalizamos a diferença multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de \sqrt{n-\sqrt{n}}-\sqrt{n}. Assim,
a_{n} = \frac{\bigl(\sqrt{n-\sqrt{n}}-\sqrt{n}\bigr)\bigl(\sqrt{n-\sqrt{n}}+\sqrt{n}\bigr)}{\sqrt{n-\sqrt{n}}+\sqrt{n}} = \frac{(n-\sqrt{n}) - n}{\sqrt{n-\sqrt{n}}+\sqrt{n}} = \frac{-\sqrt{n}}{\sqrt{n-\sqrt{n}}+\sqrt{n}}.

Passo 3

Para ver o comportamento quando n cresce, dividimos numerador e denominador por \sqrt{n}:
a_{n} = \frac{-\sqrt{n}}{\sqrt{n}\,\sqrt{1 - 1/\sqrt{n}} \;+\;\sqrt{n}} = \frac{-1}{\sqrt{1 - 1/\sqrt{n}} \;+\;1}.

Passo 4

Agora, quando n\to\infty temos 1/\sqrt{n}\to0, logo \sqrt{1 - 1/\sqrt{n}}\to1. Portanto,
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \frac{-1}{1 + 1} = -\tfrac{1}{2}.

Resposta

\lim_{n\to\infty}a_{n} = -\tfrac{1}{2}.

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