Exemplo 2.3 Prove que a sequência a_{n}=\frac{3^{n+2}}{(n+2)!} é convergente.
Resolução: Basta verificar se as hipóteses do Teorema 2.1 são satisfeitas, isto é, mostrar que \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} é monótona e limitada. De fato:
(i) Como a_{n}>0 para todo n, então
Portanto, 0<a_{n} \leq \frac{9}{2}, ou seja, \left\{a_{n}\right\} é limitada. Portanto, de (i) e (ii) e, pelo Teorema 2.1, a sequência \left\{a_{n}\right\} é convergente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a sequência
a_{n} = \frac{3^{n+2}}{(n+2)!}
é convergente. Vamos usar o Teorema 2.1, que garante convergência sempre que a sequência for monótona e limitada.
Passo 2
Mostramos que \{a_{n}\} é monótona decrescente. Como a_{n}>0 para todo n, basta verificar