Exemplo 2.3 Prove que a sequência a_{n}=\frac{3^{n+2}}{(n+2)!} é convergente.
Resolução: Basta verificar se as hipóteses do Teorema 2.1 são satisfeitas, isto é, mostrar que \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} é monótona e limitada. De fato:
(i) Como a_{n}>0 para todo n, então
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{\frac{3^{n+3}}{(n+3)!}}{\frac{3^{n+2}}{(n+2)!}}=\frac{3^{n+3}}{(n+3)!} \frac{(n+2)!}{3^{n+2}}=\frac{3 \cdot 3^{n+2}}{(n+3)(n+2)!} \frac{(n+2)!}{3^{n+2}}=\frac{3}{(n+3)}<1 .
Logo, a_{n+1}<a_{n} para todo n \geq 1. Logo, \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} é monótona decrescente.
(ii) Note que, a_{n}>0 e que
a_{n}=\frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdots 3 \cdot 3 \cdot 3}{(n+2)(n+1) n \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1}=\underbrace{\frac{3}{(n+2)}}_{<1} \cdot \underbrace{\frac{3}{(n+1)}}_{<1} \cdot \underbrace{\frac{3}{n}}_{<1} \cdots \underbrace{\frac{3}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{1}}_{=\frac{9}{2}} \leq \frac{9}{2}
Portanto, 0<a_{n} \leq \frac{9}{2}, ou seja, \left\{a_{n}\right\} é limitada. Portanto, de (i) e (ii) e, pelo Teorema 2.1, a sequência \left\{a_{n}\right\} é convergente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência
a_{n} = \frac{3^{n+2}}{(n+2)!}
é convergente. Vamos usar o Teorema 2.1, que garante convergência sempre que a sequência for monótona e limitada.

Passo 2

Mostramos que \{a_{n}\} é monótona decrescente. Como a_{n}>0 para todo n, basta verificar
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\displaystyle\frac{3^{n+3}}{(n+3)!}}{\displaystyle\frac{3^{n+2}}{(n+2)!}} = \frac{3^{n+3}}{(n+3)!}\,\frac{(n+2)!}{3^{n+2}} = \frac{3}{n+3}.
Como n+3>3 para todo n\ge1, segue que
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{3}{n+3} < 1,
ou seja, a_{n+1}<a_{n}. Logo, \{a_{n}\} é decrescente.

Passo 3

Mostramos que \{a_{n}\} é limitada. Em primeiro lugar, a_{n}>0. Para o limite superior, note que
a_{n} = \frac{3^{n+2}}{(n+2)!} = \frac{3}{n+2}\,\frac{3}{n+1}\,\frac{3}{n}\,\cdots\,\frac{3}{1}.
Para k\ge3 temos \tfrac{3}{k}\le1, de modo que
a_{n} \le \frac{3}{3}\,\frac{3}{2}\,\frac{3}{1} = \frac{9}{2}.
Portanto
0 < a_{n} \le \frac{9}{2},
ou seja, \{a_{n}\} é limitada.

Passo 4

Como \{a_{n}\} é decrescente e limitada, pelo Teorema 2.1 concluímos que \{a_{n}\} é convergente.

Resposta

A sequência \displaystyle a_{n}=\frac{3^{n+2}}{(n+2)!} é convergente.

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