Calcule, justificando, o limite das seguintes sequências:
a_{n}=\left(1-2 \operatorname{sen}\left(\frac{1}{n}\right)\right)^{3 n}

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
a_{n}=\bigl(1-2\sin\bigl(\tfrac1n\bigr)\bigr)^{3n}
quando n\to\infty. O conteúdo principal é usar a transformação logarítmica para sequências do tipo (1+\text{pequeno})^{\text{grande}} e as equivalências
\sin x\sim x e \ln(1+x)\sim x para x\to0.

Passo 2

Para encontrar \lim_{n\to\infty}a_n, definimos
L = \lim_{n\to\infty}a_n
e usamos que, se existir,
\ln L = \lim_{n\to\infty}\ln a_n.
Calculamos então
\ln a_n = 3n\;\ln\!\bigl(1-2\sin(\tfrac1n)\bigr).

Passo 3

Como \tfrac1n\to0, seja
x_n = -2\sin\bigl(\tfrac1n\bigr),
então x_n\to0 e
\ln\!\bigl(1-2\sin(\tfrac1n)\bigr) = \ln(1+x_n) \sim x_n = -2\sin\bigl(\tfrac1n\bigr).
Logo para n grande vale
\ln a_n \sim 3n\bigl(-2\sin(\tfrac1n)\bigr) = -6\,n\,\sin\bigl(\tfrac1n\bigr).

Passo 4

Usando agora a equivalência \sin(\tfrac1n)\sim\tfrac1n, temos
n\,\sin\bigl(\tfrac1n\bigr)\sim n\cdot\tfrac1n = 1.
Portanto
\ln a_n \;\longrightarrow\;-6 \quad\text{quando }n\to\infty.

Resposta

\lim_{n\to\infty}a_n = e^{-6}.

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