Calcule, justificando, o limite das seguintes sequências:
a_{n}=\left(\mathrm{e}^{3 / n}-\frac{2}{n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
a_{n}=\bigl(e^{3/n}-2/n\bigr)^{n}
quando n\to\infty. Vamos usar a técnica de passar ao logaritmo e desenvolver em série de Taylor para termos da forma (1+\text{pequeno})^{n}.

Passo 2

Primeiro expandimos e^{3/n} em série de Taylor em torno de n=\infty:
e^{3/n} =1+\frac{3}{n}+\frac{1}{2}\Bigl(\frac{3}{n}\Bigr)^{2}+O\bigl(\tfrac{1}{n^{3}}\bigr) =1+\frac{3}{n}+\frac{9}{2n^{2}}+O\bigl(\tfrac{1}{n^{3}}\bigr).
Subtraindo \tfrac{2}{n} obtemos
e^{3/n}-\frac{2}{n} =1+\frac{3}{n}+\frac{9}{2n^{2}}-\frac{2}{n}+O\bigl(\tfrac{1}{n^{3}}\bigr) =1+\frac{1}{n}+\frac{9}{2n^{2}}+O\bigl(\tfrac{1}{n^{3}}\bigr).

Passo 3

Defina
u=\frac{1}{n}+\frac{9}{2n^{2}}+O\bigl(\tfrac{1}{n^{3}}\bigr),
de modo que e^{3/n}-2/n=1+u. Então
\ln a_{n} =n\ln(1+u) =n\Bigl(u-\tfrac{u^{2}}{2}+O(u^{3})\Bigr).
Como
u^{2} =\frac{1}{n^{2}}+\frac{9}{n^{3}}+O\bigl(\tfrac{1}{n^{4}}\bigr),
temos
\ln(1+u) =\frac{1}{n}+\frac{9}{2n^{2}}-\frac{1}{2n^{2}}+O\bigl(\tfrac{1}{n^{3}}\bigr) =\frac{1}{n}+\frac{4}{n^{2}}+O\bigl(\tfrac{1}{n^{3}}\bigr).
Multiplicando por n:
\ln a_{n} =1+\frac{4}{n}+O\bigl(\tfrac{1}{n^{2}}\bigr).

Passo 4

Ao tomar o limite n\to\infty obtemos
\lim_{n\to\infty}\ln a_{n}=1,
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\lim_{n\to\infty}a_{n} =\exp\bigl(\lim_{n\to\infty}\ln a_{n}\bigr) =e^{1}=e.

Resposta

O limite da sequência é e.

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