Calcule e justifique.

Passo 1

O enunciado pede para calcular e justificar o valor de . Esse problema envolve limites de funções, indeterminações limxto1 arcsenl(1-raizx1-xr), manipulação algébrica usando conjugado e a continuidade da função .

Passo 2

Observe que, ao substituir x=1 diretamente em 1-raizx1-x, obtemos a forma indeterminada 0/0. Ou seja, tanto o numerador quanto o denominador vão a zero quando xto1. Para resolver indeterminações desse tipo, podemos simplificar a expressão algébrica.

Passo 3

Para simplificar 1-raizx1-x, note que:
1-raizx1-x =-(raizx-1)-(x-1) =raizx-1x-1
Agora multiplicamos numerador e denominador por raizx+1:
raizx-1x-1cdot raizx+1raizx+1 =(raizx-1)(raizx+1)(x-1)(raizx+1) =x-1(x-1)(raizx+1) =1raizx+1

Passo 4

Com a expressão simplificada, o limite dentro do fica:
arcsen

Passo 5

Como é contínua no ponto arcsen(y), podemos passar o limite para dentro da função:
E sabemos que .

Resposta

dfracpi6

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