Use séries para aproximar a integral definida com a precisão indicada.
erro .

Passo 1

A questão pede para aproximar a integral I = integral0^0,1 dxraiz1+x^3 com erro menor que 10^-8. O conteúdo é série de Taylor (binomial) para (1+u)^-1/2 e uso de integração termo a termo.

Passo 2

A série binomial geral diz que, para |u|<1 e alpha qualquer, vale
(1+u)^alpha = sumn=0^infty binomalphan u^n,
onde
binomalphan = alpha(alpha-1)cdots(alpha-n+1)n!

Passo 3

No nosso caso, alpha = -tfrac12 e u = x^3. Então
1raiz1+x^3 = (1+x^3)^-1/2 = sumn=0^infty an ,x^3n,
com
an = binom-1/2n

Passo 4

Agora integramos termo a termo em [0,0.1]:
I = integral0^0.1 sumn=0^infty an x^3n ,dx = sumn=0^infty an integral0^0.1 x^3n ,dx = sumn=0^infty an (0.1)^3n+13n+1
Denotando
Tn = an (0.1)^3n+13n+1,
podemos somar os Tn.

Passo 5

Como a série gerada é alternante (os an alternam sinal) e decrescente em magnitude para x<=0.1, pelo teste da série alternante o erro ao truncar após n=N é menor que (|T_{N+1}|
. Para garantir erro <10^-8, precisamos de |TN+1|<10^-8.

Passo 6

Calculando os primeiros termos:
a0=1, T0=(0.1)^11=0.1;
a1=-tfrac12, T1=-tfrac12(0.1)^44=-1.25times10^-5;
a2=tfrac38, T2=tfrac38(0.1)^77approx5.35714times10^-9
Vemos que |T2|approx5.4times10^-9<10^-8, então é suficiente somar até n=1 para obter erro menor que 10^-8.

Passo 7

Somando os termos até n=1:
I approx T0 + T1 = 0.1 - 1.25times10^-5 = 0.0999875
Se quisermos melhorar a precisão interna, podemos incluir T2, pois |T3|sim10^-12 é insignificante:
I approx 0.1 - 1.25times10^-5 + 5.35714times10^-9 = 0.09998750535714

Passo 8

Concluímos que, com erro abaixo de 10^-8, a integral vale aproximadamente 0.0999875054.

Resposta

0.0999875054

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