Use séries para aproximar a integral definida com a precisão indicada.
erro
.
Passo 1
A questão pede para aproximar a integral
com erro menor que
. O conteúdo é série de Taylor (binomial) para
e uso de integração termo a termo.
Passo 2
A série binomial geral diz que, para
e
qualquer, vale
onde
Passo 3
No nosso caso,
e
. Então
com
Passo 4
Agora integramos termo a termo em
:
Denotando
podemos somar os
.
Passo 5
Como a série gerada é alternante (os
alternam sinal) e decrescente em magnitude para
, pelo teste da série alternante o erro ao truncar após
é menor que (|T_{N+1}|
. Para garantir erro , precisamos de
.
. Para garantir erro
Passo 6
Calculando os primeiros termos:
Vemos que
, então é suficiente somar até
para obter erro menor que
.
Passo 7
Somando os termos até
:
Se quisermos melhorar a precisão interna, podemos incluir
, pois
é insignificante:
Passo 8
Concluímos que, com erro abaixo de
, a integral vale aproximadamente 0.0999875054.
Resposta
0.0999875054