As funções J0 e J1 definidas pelas séries:
J0(x)=sumn=0^infty(-1)^n x^2 n2^2 n(n!)^2
são chamadas funções de Bessel do primeiro tipo de ordem zero e um, respectivamente. Determine o domínio de J0 e J1.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o conjunto de valores de x em que as séries que definem as funções de Bessel J₀(x) e J₁(x) convergem. O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar o teste da razão para achar o raio de convergência de cada uma.

Passo 2

Para J₀(x) temos o termo geral
cn = (-1)^n x^2n2^2n(n!)^2
Aplicando o teste da razão, calculamos
L = limntoinfty |cn+1cn| = limntoinfty |x|^2(n+1)2^2(n+1)((n+1)!)^2 cdot 2^2n(n!)^2|x|^2n = limntoinfty |x|^24(n+1)^2 = 0
Como L=0<1 para todo x real, a série converge para todos os x em R.

Passo 3

A série padrão que define J₁(x) é
J1(x)=sumn=0^infty (-1)^n x^2n+12^2n+1,n!,(n+1)!
Chamando o termo geral de J₁ de
dn = (-1)^n x^2n+12^2n+1,n!,(n+1)!,
aplicamos o mesmo teste da razão:
limntoinfty |dn+1dn| = limntoinfty |x|^24(n+1)(n+2) = 0
De novo, 0<1 para todo x real, logo converge em toda R.

Passo 4

Como ambas as séries têm raio de convergência infinito, concluímos que o domínio de J₀ e J₁ é todo o conjunto dos números reais.

Resposta

O domínio de J₀ e J₁ é R, isto é, todos os números reais.

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