Sabendo que está definida implicitamente nas equações abaixo, calcule :

Passo 1

A equação implícita dada é e^ycos x = x + y. O conteúdo envolvido é diferenciação implícita e vamos precisar aplicar a regra do produto e a regra da cadeia para diferenciar e^ycos x.

Passo 2

Vamos derivar ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo temos o produto de u = e^y por v = cos x. Pela regra do produto:
ddx(u,v) = u',v + u,v'
e como u = e^y, pela regra da cadeia u' = e^y,y'; e como v = cos x, v' = -sin x.
Então a derivada do lado esquerdo fica:
e^y,y',cos x + e^y(-sin x) = e^yy'cos x - e^ysin x

Passo 3

O lado direito x + y ao derivar dá:
ddx(x+y) = 1 + y'

Passo 4

Agora igualamos as duas expressões:
e^yy'cos x - e^ysin x = 1 + y'
Isolamos y'. Primeiro agrupamos os termos com y':
e^ycos x,y' - y' = 1 + e^ysin x
Fatorando y':
y'l(e^ycos x - 1r) = 1 + e^ysin x
Por fim, dividimos para encontrar y':

Resposta

y'=dfrac1 + e^ysin xe^ycos x - 1

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