(2,0)Calcule e justifique.(sem L’Hospital)
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{x^2-1}.
Esse limite apresenta a forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Vamos usar fatoração de polinômios e a propriedade de que, após simplificar, podemos avaliar a função contínua no ponto.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador por identidades algébricas:
x^3 - 1 = (x-1)\,(x^2 + x + 1),
x^2 - 1 = (x-1)\,(x+1).

Passo 3

Para x\neq1 podemos cancelar o fator comum (x-1), obtendo
\frac{x^3-1}{x^2-1} = \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2+x+1}{x+1}.

Passo 4

A função
g(x)=\frac{x^2+x+1}{x+1}
é contínua em x=1. Logo
\lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{x^2-1} = \lim_{x\to1}g(x) = g(1) = \frac{1^2+1+1}{1+1} = \frac{3}{2}.

Resposta

O valor do limite é \displaystyle \frac{3}{2}.

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