O número de operários que chegam com atraso ao canteiro de obras em determinado dia útil é modelado por uma variável aleatória discreta Z, com distribuição uniforme nos valores \{0,1,2,3,4\}. Calcule:
(a) A função de probabilidade de Z;
(b) A probabilidade de exatamente 2 operários se atrasarem;
(c) O valor esperado e a variância de Z.

Passo 1

O enunciado diz que Z é uma variável aleatória discreta com distribuição uniforme no conjunto \{0,1,2,3,4\}. Vamos usar:
  • Definição de distribuição uniforme discreta.
  • Fórmula de probabilidade P(Z=z).
  • Cálculo de esperança E(Z) e variância \mathrm{Var}(Z).

Passo 2

Numa distribuição uniforme discreta com n valores, cada valor tem probabilidade igual a 1/n. Aqui n=5 (os valores são 0,1,2,3,4). Logo, para z\in\{0,1,2,3,4\}
P(Z=z)=\frac{1}{5},
e para qualquer outro z temos P(Z=z)=0.

Passo 3

A probabilidade de exatamente 2 operários se atrasarem é simplesmente
P(Z=2)=\frac{1}{5}.

Passo 4

Para a esperança de uma variável uniforme em \{0,1,2,3,4\} usamos
E(Z)=\frac{0+1+2+3+4}{5}=\frac{10}{5}=2.

Passo 5

Para a variância, calculamos primeiro
E(Z^2)=\frac{0^2+1^2+2^2+3^2+4^2}{5} =\frac{0+1+4+9+16}{5} =\frac{30}{5}=6.
Então
\mathrm{Var}(Z) =E(Z^2)-[E(Z)]^2 =6-2^2 =6-4 =2.

Resposta

(a) P(Z=z)=\begin{cases}1/5,&z\in\{0,1,2,3,4\},\\\ 0,&\text{caso contrário.}\end{cases}á
(b) P(Z=2)=1/5.
(c) E(Z)=2\quad\text{e}\quad\mathrm{Var}(Z)=2.

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