Se \lim _{x \rightarrow-2} \frac{f(x)}{x^{2}}=1, calcule:
(a) \lim _{x \rightarrow-2} f(x)
(b) \lim _{x \rightarrow-2} \frac{f(x)}{x}
(c) \lim _{x \rightarrow-2}(x+2) f(x)

Passo 1

O enunciado nos dá que
\lim_{x\to -2}\frac{f(x)}{x^2}=1
e pede:
(a) \lim_{x\to -2}f(x)
(b) \lim_{x\to -2}\frac{f(x)}{x}
(c) \lim_{x\to -2}(x+2)\,f(x)
O conteúdo aqui é uso das propriedades de limites de quociente e produto, sabendo que se \lim g(x)=L e \lim h(x)=M com M\neq0, então \lim g(x)\,h(x)=L\,M e \lim \tfrac{g(x)}{h(x)}=\tfrac{L}{M}.

Passo 2

Para achar \lim_{x\to -2}f(x), note que
\lim_{x\to -2}x^2 = (-2)^2 = 4 \neq 0.
Como
\lim_{x\to -2}\frac{f(x)}{x^2}=1
e \lim_{x\to -2}x^2=4, pela propriedade do quociente de limites temos
\lim_{x\to -2}f(x) \;=\;\Bigl(\lim_{x\to -2}\tfrac{f(x)}{x^2}\Bigr)\,\Bigl(\lim_{x\to -2}x^2\Bigr) \;=\;1\cdot4 \;=\;4.

Passo 3

Para calcular \lim_{x\to -2}\frac{f(x)}{x}, usamos que já sabemos \lim_{x\to -2}f(x)=4 e \lim_{x\to -2}x=-2\neq0. Então, pela propriedade do quociente,
\lim_{x\to -2}\frac{f(x)}{x} \;=\;\frac{\lim_{x\to -2}f(x)}{\lim_{x\to -2}x} \;=\;\frac{4}{-2} \;=\;-2.

Passo 4

Para achar \lim_{x\to -2}(x+2)\,f(x), note que \lim_{x\to -2}(x+2)=0 e já vimos que \lim_{x\to -2}f(x)=4. Usando a propriedade do produto,
\lim_{x\to -2}(x+2)\,f(x) \;=\;\Bigl(\lim_{x\to -2}(x+2)\Bigr)\,\Bigl(\lim_{x\to -2}f(x)\Bigr) \;=\;0\cdot4 \;=\;0.

Resposta

(a) 4
(b) -2
(c) 0

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